Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông cách tính chứng minh

Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông có liên quan đến nhiều dạng bài toán nên đây là kiến thức cần tìm hiểu kĩ và nhớ rõ để có nền tảng tốt trong quá trình làm bài. Sau đây, DapAnChuan.com sẽ giúp các bạn tiếp cận sâu vào những thông tin về đường trung tuyến qua nội dung bài viết sau đây

Tóm tắt

Đường trung tuyến trong một tam giác là gì?

Đường trung tuyến (hay còn gọi là “đường trung bình”) trong hình học là đường thẳng nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện. Có nghĩa là đường trung tuyến chia cạnh đối diện thành hai đoạn bằng nhau và kết nối đỉnh với trung điểm của cạnh đó.

Vậy, mỗi tam giác đều có ba đường trung tuyến (vì tam giác có 3 đỉnh và 3 cạnh đối diện).

Đoạn thẳng AM là đường trung tuyến của tam giác ABC ở hình trên

Định lý đường trung tuyến trong tam giác

Sau đây là định lý về đường trung tuyến trong tam giác mà các em cần tham khảo khi xác định về đường trung tuyến này

Định lý 1

Một tam giác bất kỳ, có ba cạnh và ba đỉnh. Từ mỗi đỉnh của tam giác, chúng ta có thể kẻ một đường trung tuyến, nối điểm đó với trung điểm của cạnh đối diện. Khi ta kẻ ba đường trung tuyến này, chúng sẽ giao nhau tại một điểm duy nhất, được gọi là trọng tâm của tam giác, khoảng cách từ trọng tâm đến mỗi đỉnh bằng hai phần ba độ dài từ trọng tâm đến đỉnh tương ứng.

Định lý 2

Đường trung tuyến của một tam giác là đường thẳng nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện. Khi vẽ đường trung tuyến từ một đỉnh của tam giác đến trung điểm của cạnh đối diện, chúng ta thu được hai tam giác con. Đặc biệt, đường trung tuyến này chia tam giác ban đầu thành hai tam giác con có diện tích bằng nhau.

Như vậy, ba đường trung tuyến của tam giác cũng sẽ chia tam giác thành sáu tam giác nhỏ, mỗi tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau.

Như Hình 1, tam giác ABM và tam giác ACM có diện tích bằng nhau.

Chứng minh:

Tam giác ΔABC có M, N, P là trung điểm của BC, CA, AB. Khi đó AM, BN, CP lần lượt là các đường trung tuyến xuất phát từ ba đỉnh A, B, C.

AM, BN, CP đồng quy ở điểm G.

=> G là trọng tâm của ΔABC

Theo định nghĩa ta có:

AN = NC, CM = MB, BP = PA

Nếu ta vẽ đường cao GH (H thuộc BC) thì:
Diện tích tam giác BGM = ½.GH.BM

Diện tích tam giác CGM = ½.GH.MC

Mà BM = MC nên diện tích ΔBGM = diện tích ΔCGM

các cặp tam giác khác cũng chứng minh tương tự

=> Diện tích ΔAGN = diện tích ΔCGN; diện tích ΔBGM = diện tích ΔCGM; diện tích ΔAGP = diện tích ΔBGP

Định lý 3

Trong một tam giác, đường trung tuyến là đoạn thẳng nối một đỉnh với trung điểm của cạnh đối diện. Như vậy, trọng tâm của một tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến. Điều này chứng minh là trọng tâm nằm ở khoảng cách 2/3 độ dài đường trung tuyến

Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông

Đường trung tuyến trong tam giác là đoạn thẳng kết nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện. Trong trường hợp của tam giác vuông, đường trung tuyến kết nối đỉnh vuông với trung điểm của cạnh huyền.

Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1/2 cạnh huyền

Trong một tam giác vuông, giả sử cạnh huyền có độ dài c, và đường trung tuyến ứng với cạnh huyền là m. Theo điều kiện, đường trung tuyến m bằng 1/2 độ dài cạnh huyền, nghĩa là m=1/2c.

Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác vuông

Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền có độ dài bằng một nửa độ dài cạnh huyền
Đường trung tuyến chia cạnh huyền thành hai đoạn bằng nhau. Do đó, trung điểm của cạnh huyền cũng là trung điểm của đường trung tuyến
Hai đường trung tuyến của một tam giác vuông tạo thành một hình bình hành (paralelogram). Điều này xuất phát từ tính chất của đường trung tuyến chia cạnh huyền thành hai phần bằng nhau và nối trực tiếp với đỉnh vuông.
Đường trung tuyến cũng là đường trung trực, do đó, nó cũng là đường trực của tam giác và đi qua trung điểm của cạnh huyền.

Ví dụ:

Cho tam giác ABC vuông tại C, đường trung tuyến CD như hình vẽ

Công thức tính đường trung tuyến trong tam giác

Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông ta rút ra được:
+ CD = ½ AB (Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền)

Hay CD = AD = BD

Chứng minh: vẽ đường tròn tâm D và đường kính BA, A,B,C là các điểm thuộc đường tròn mà BA là đường kính nên tam giác ABC vuông tại C, từ đây ta có AD,BD,CD là các đường bán kính của đường tròn.

=> AD = BD = CD

Nếu là tam giác vuông cân, đường trung tuyến từ góc vuông, ứng với cạnh huyền sẽ có các tính chất của đường trung tuyến của tam giác vuông và tam giác cân, tức nó sẽ có chiều dài bằng 1/2 cạnh huyền, vuông góc với cạnh huyền, và chia góc vuông thành 2 góc có 45 độ

Cách chứng minh đường trung tuyến trong tam giác vuông

Ta dựa vào tính chất để chứng minh đường trung tuyến trong tam giác vuông:

+ Trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền

+ Nếu một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Ví dụ:

Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:

1. Nếu = 90 độ thì MA = 2BC

2. Nếu MA = 2 BC thì góc(A) = 90 độ.

Giải: Xét tam giác ABC có M là trung điểm của BC.

Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA.

Ta có:

góc(AMB) = góc(NMC) (đối đỉnh)

BM = CM (giả thiết)

MA = MN (dựng hình)

Suy ra: tam giác MAB = tam giác MNC (c.g.c)

Suy ra: NC = AB và góc(MBA) = góc(MCN)

a) Do góc(MBA) = góc(MCN) nên AB II NC suy ra góc(BAC) + góc(ACN) = 180 độ.

Nếu góc(BAC) = 90 độ thì góc(ACN) = 90 độ.

Khi đó ta có: tam giác ABC = tam giác CNA (c.g.c) vì có AC chung; AB = NC (cmt) và góc(BAC) = góc(ACN) = 90 độ.

Ta có: AN = BC => AM = 2BC

b) Ta có: MA = 2AN. Nếu MA = 2BC thì AN = BC.

Lại có AB = CN (cmt)

Suy ra tam giác ABC = tam giác CNA (c.c.c), suy ra: góc(BAC) = góc(ACN)

Mà góc(BAC) + góc(ACN) = 180 độ (vì AB // CA) nên góc(BAC) = 90 độ (đpcm)

Đường trung tuyến trong các tam giác đặc biệt khác

Đường trung tuyến trong tam giác cân

Sau đây là một số kiến thức về đường trung tuyến trong các tam giác cân, các em cùng tham khảo

Đường trung tuyến trong một tam giác cân có nguồn gốc từ đỉnh và kết thúc tại trung điểm của cạnh đối diện (cạnh đáy tương ứng với đỉnh đó). Nó được gọi là “đường trung tuyến” vì nó chia cạnh đối diện thành hai đoạn bằng nhau.
Ngoài ra, đường trung tuyến cũng là đường trung trực của cạnh đáy, nghĩa là nó cắt cạnh đáy tại một góc vuông, tại trung điểm của cạnh đáy đó.
Đường trung tuyến cũng có tính chất chia góc ở đỉnh thành hai phần bằng nhau. Nói cách khác, nó là đường phân giác của góc ở đỉnh, nối đỉnh với trung điểm của cạnh đối diện và tạo thành hai góc bằng nhau tại đỉnh.

Đường trung tuyến trong tam giác đều

Để tìm hiểu về đường trung tuyến trong tam giác đều, thì chúng ta cần xác định các tính chất sau đây

Khi kể về ba đường trung tuyến của tam giác đều, chúng được hình thành bằng cách nối mỗi đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện. Đặc biệt là, ba đường trung tuyến này không chỉ làm trung điểm cho các cạnh tương ứng, mà còn là ba đường phân giác, chia tam giác thành các phần bằng nhau từ mỗi đỉnh và đi qua trung điểm của cạnh tương ứng.
Ngoài ra, ba đường trung tuyến tam giác đều cũng là ba đường trung trực, nghĩa là chúng vuông góc với các cạnh tương ứng và đi qua trung điểm của chúng.

Đường trung tuyến trong tam giác bất kỳ

Trong hình học tam giác, điểm giao nhau của ba đường trung tuyến được gọi là trọng tâm. Đây là một điểm quan trọng trong tam giác. Một số tính chất quan trọng về trọng tâm và các đường tuyến liên quan bao gồm:

Trọng tâm và đường trung tuyến: Ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy gặp nhau tại một điểm duy nhất, được gọi là trọng tâm.
Khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh tam giác: Khoảng cách từ trọng tâm đến một đỉnh bất kỳ của tam giác bằng 2/3 độ dài của đường trung tuyến tương ứng với đỉnh đó.
Khoảng cách từ trọng tâm đến trung điểm cạnh: Khoảng cách từ trọng tâm đến trung điểm mỗi cạnh tam giác bằng 1/2 độ dài đường trung tuyến tương ứng với cạnh đó.

Những tính chất này đều mang tính quan trọng và được sử dụng rộng rãi trong giải các bài toán hình học liên quan đến tam gi

Bài tập về đường trung tuyến trong tam giác vuông

Bài 1:

Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB = 18cm, AC = 24cm. Tính tổng các khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến các đỉnh của tam giác.

Lời giải:

Gọi AD, CE, BF lần lượt là các đường trung tuyến nối từ đỉnh A, C, B của tam giác ABC

Dễ dàng suy ra AE = EB = 9cm, AF = FC = 12cm

Ta có tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:

BC² = AB² + AC² ⇒ BC² = 18² + 24² = 900 ⇒ BC = 30cm

Ta có ABC vuông mà D là trung điểm cạnh huyền nên AD = BD = DC = 15cm

Suy ra: AG = 2/3 AD = 10cm

Xét tam giác AEC vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:

EC² = AE² + AC² ⇒ EC² = 9² + 24² = 657 ⇒ EC = 3√73 cm ⇒ CG = 2/3 EC = 2√73 cm

Tương tự ta xét tam giác AFB vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:

BF² = AB² + AF² ⇒BF² = 18² + 12² = 468 ⇒ BF = 6√13 cm ⇒ BG = 2/3 BF = 4√13 cm

Tổng các khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến các đỉnh của tam giác là:

AG + BG + CG = 10 + 4√13 + 2√73 (cm)

Bài 2:

Cho tam giác vuông ABC có hai góc vuông AB = 3cm, AC= 4cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A tới trọng tâm G của tam giác ABC.

Lời giải:

Xét ΔABC vuông tại A, ta có:

BC^2 = AB^2 + AC^2 (định lí Pitago)

Thay số: BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25

⇒ BC = 5 (cm)

Gọi M là trung điểm của BC, suy ra AM là đường trung tuyến.

Vì theo đề bài: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền nên

AM = ½ BC = ½ . 5 = 2,5 (cm)

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên AG = ⅔ AM = ⅔.2,5 = 5/3 (cm)

Một số bài tập tự luyện về đường trung tuyến trong tam giác vuông

Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8cm, BC = 10cm. lấy điểm M trên cạnh AB sao cho BM = 4cm. lấy điểm D sao cho A là trung điểm của DC.

Tính AD.
Điểm M là gì của tam giác BCD.
Gọi E là trung điểm của BC. chứng minh D, M, E thẳng hàng.

Bài tập 2: Cho tam giác DEF cân tại D có đường trung tuyến DI.

a) Chứng minh : ΔDEI = ΔDFI.

b) Các góc DIE và góc DIF là góc gì ?

c) DE = DF = 13cm, EF = 10cm. tính DI.

Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD = MA.

a) Tính số đo góc ABD

b) Chứng minh : ABC = BAD.

c) So sánh độ dài AM và BC.

Bài tập 4: Hai đường trung tuyến AD và BE của tam giác ABC cắt nhau tại G. kéo dài GD thêm một đoạn DI = DG. Chứng minh : G là trung điểm của AI.

Bài tập 5: Trên đường trung tuyến AD của tam giác ABC, lấy hai điểm I và G sao cho AI = IG = GD. Gọi E là trung điểm của AC.

Chứng minh B, G, E thẳng hàng và so sánh BE và GE.
CI cắt GE tại O. điểm O là gì của tam giác ABC. chứng minh BE = 9OE.

Bài tập 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8cm, BC = 10cm. lấy điểm M trên cạnh AB sao cho BM = 4cm. lấy điểm D sao cho A là trung điểm của DC.

Tính AD.
Điểm M là gì của tam giác BCD.
Gọi E là trung điểm của BC. chứng minh D, M, E thẳng hàng.

Trên đây là các lý thuyết cần nhớ và một số dạng bài tập về tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông và các dạng tam giác khác. Các học sinh nhớ để ý kỹ từng tính chất để lập luận logic trong các bài tập nhé. Chúc các em thành công!