Tam giác cân là một trong những loại hình học cơ bản được học trong chương trình toán học. Đường cao trong tam giác cân là một yếu tố quan trọng trong việc tính toán diện tích và các thông số khác của tam giác. Bài viết này của Dapanchuan.com sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về tính chất và cách tính đường cao trong tam giác cân.
Định nghĩa đường cao trong tam giác cân
Tam giác cân là gì?
Tam giác cân là một tam giác có hai cạnh bên bằng nhau và hai góc ở đáy (góc giữa hai cạnh bên) bằng nhau. Tam giác cân có đường cao là đường thẳng đi từ đỉnh của tam giác đến đáy, vuông góc với đáy. Do hai cạnh bên bằng nhau nên đường cao trong tam giác cân cắt đáy tại trung điểm của đoạn thẳng đáy.
Tam giác cân là một trong các loại tam giác đặc biệt và có nhiều tính chất đặc trưng, được sử dụng rộng rãi trong các bài toán hình học và toán học ứng dụng.
Đường cao trong trong tam giác cân là gì?
Đường cao trong tam giác cân là đường thẳng vuông góc với đáy và đi từ đỉnh của tam giác đến đáy. Do tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau nên đường cao cắt đáy tại trung điểm của đoạn thẳng đáy. Đường cao trong tam giác cân có nhiều tính chất đặc biệt, được sử dụng trong các bài toán hình học và toán học ứng dụng.
Tính chất của đường cao trong tam giác cân
Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau và hai góc ở đáy bằng nhau, là một dạng tam giác đặc biệt. Khi đó, đường cao trong tam giác cân sẽ có một số tính chất đáng chú ý như sau:
- Trước tiên, đường cao là đoạn thẳng vuông góc xuất phát từ đỉnh và chạm vào cạnh đáy. Nó cũng giúp chia tam giác cân thành hai tam giác cân bằng nhau.
- Thứ hai, đường cao từ đỉnh đến cạnh đáy có chân là trung điểm của cạnh đáy. Vì vậy, đường cao cũng đồng thời là đường phân giác và đường trung trực của tam giác cân.
- Ngoài ra, tam giác vuông cân là trường hợp đặc biệt của tam giác cân và tam giác vuông. Đường cao trong tam giác vuông cân cũng có các tính chất tương tự như trong tam giác cân và tam giác vuông, và chia tam giác thành hai tam giác vuông cân.
Công thức tính đường cao trong tam giác cân
Công thức tính đường cao trong tam giác cân là bình phương chiều cao trừ đi bình phương nửa độ dài cạnh đáy, được chia cho 4. Cụ thể, công thức là:
h^2 = (a^2 – (b^2)/4))
Trong đó:
- h là độ dài đường cao trong tam giác cân.
- a là độ dài một cạnh của tam giác cân.
- b là độ dài cạnh đáy tương ứng với đường cao được vẽ từ đỉnh của tam giác cân.
Do đó, nếu biết độ dài một cạnh của tam giác cân và độ dài cạnh đáy tương ứng với đường cao từ đỉnh, ta có thể tính được độ dài đường cao trong tam giác cân.
Cách tính đường cao trong tam giác cân
Để tính độ dài đường cao AH trong tam giác cân, ta có thể làm theo các bước sau:
– Bước 1: Vẽ đường cao AH từ đỉnh A vuông góc với cạnh BC.
– Bước 2: Áp dụng tính chất của tam giác cân để suy ra HB=HC= ½BC.
– Bước 3: Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABH để tìm độ dài đường cao AH. Cụ thể, ta có:
AH^2 + BH^2 = AB^2 (vì tam giác ABH là tam giác vuông tại H)
⇒ AH^2 = AB^2 − BH^2 (1)
– Bước 4: Tính độ dài đường cao AH bằng cách thay giá trị của AB và BC vào phương trình trên.
Vậy là ta đã tính được độ dài đường cao AH trong tam giác cân ABC.
Một vài bài tập tính đường cao trong tam giác cân
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, độ dài 2 cạnh AB = AC = 4cm và độ dài cạnh BC = 14cm. Tính độ dài đường cao trong tam giác cân ABC này.
Bài giải:
Đầu tiên ta kẻ AH vuông góc với BC tại điểm H
Vì đường cao AH đi qua trung điểm của cạnh đáy nên ta có:
BH = HC = BC/2 = 14:2 = 7 cm
Áp dụng công thức (1) ở trên, ta có:
AH^2 = AB^2 − BH^2 = 16 – 7 = 9
⇒ AH = √9 = 3 cm
Bài 2: Tính độ dài đường cao trong tam giác cân bất kỳ, biết độ dài của 2 cạnh bằng nhau là 2cm và độ dài cạnh còn lại là 3cm.
Bài giải:
Áp dụng công thức (1) ở trên, ta có:
h = √[ a2 – (b/2)2]
= √(4 – (1.5)2)
= 1.32 (cm)
Bài 3: Cho tam giác cân DEF cân tại A, biết DE + DF = 22cm và EF = 10. Kẻ DI vuông góc với EF ở điểm I và tính độ dài của đường cao DI.
Bài giải:
Vì tam giác DEF cân tại D nên ta có: DE = DF = 22/2 = 11 cm
Vì đường cao của tam giác cân DEF đi qua trung điểm cạnh đáy nên:
EI = IF = EF/2 = 10/2 = 5 cm
Khi đó, ta áp dụng công thức (1): DI2 + EI2 = DE2
⇒ DI2 = DE2 − EI2 = 121 – 25 = 96
⇒ DI = √96 = 4√6 cm
Bài 4: Cho tam giác cân ABC tại đỉnh A, biết AB = 5 cm và BC = 12 cm. Tính độ dài đường cao AH của tam giác.
Bài giải:
Vì tam giác ABC là tam giác cân, nên ta có:
- Đường cao AH của tam giác cân ABC đi qua trung điểm của cạnh BC.
- Cạnh đáy BC được chia thành 2 đoạn bằng nhau. Do đó, ta có: BH = HC = BC/2 = 12/2 = 6 (cm)
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông AMH, ta có:
AH² + BH² = AB²
⇒ AH² = AB² – BH² = 5² – 6²
⇒ AH = √11 (cm)
Vậy độ dài đường cao AH của tam giác cân ABC là √11 cm.
Bài 5: Trong tam giác cân ABC cân tại đỉnh A, đường cao AH bằng 4 cm và cạnh đáy BC bằng 10 cm. Tính độ dài cạnh AB.
Giải:
Ta có: BH = HC = BC/2 = 10/2 = 5 (cm)
Áp dụng công thức: AH² = AB² – BH²
⇒ 4² = AB² – 5²
⇒ AB = √21 (cm)
Vậy độ dài cạnh AB của tam giác cân ABC là √21 cm.
Bài 6: Tam giác ABC là tam giác cân tại đỉnh A. Đường cao AH của tam giác cân này có độ dài bằng 3 cm. Tính độ dài cạnh AB nếu cạnh BC có độ dài bằng 8 cm.
Giải:
Ta có: BH = HC = BC/2 = 8/2 = 4 (cm)
Áp dụng công thức: AH² = AB² – BH²
⇒ 3² = AB² – 4²
⇒ AB = √7 (cm)
Vậy độ dài cạnh AB của tam giác cân ABC là √7 cm.
Trong bài viết trên, chúng ta đã tìm hiểu về tính chất và cách tính đường cao trong tam giác cân. Hi vọng thông qua bài viết này, bạn đã hiểu rõ hơn về định nghĩa, tính chất và cách tính đường cao trong tam giác cân.