Một trong những bài toán thường được đề cập nhất trong toán học là tìm số lượng giao điểm của các đường thẳng. Trong bài viết dưới đây, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu đáp án cho câu hỏi: “12 đường thẳng có nhiều nhất bao nhiêu giao điểm?” và khám phá những bài tập vận dụng của dạng toán này.
Khái niệm về giao điểm
Trước khi tìm hiểu 12 đường thẳng có nhiều nhất bao nhiêu giao điểm thì chúng ta cùng tìm hiểu các định nghĩa về điểm, đường thẳng, đoạn thẳng, giao điểm ngay sau đây:
Điểm là gì?
Trong toán học và hình học, điểm là đối tượng cơ bản nhất được sử dụng để xây dựng các đối tượng khác như đường, mặt phẳng, hình học không gian, v.v.
Điểm được xác định bởi tọa độ của nó trong hệ tọa độ được chọn, chẳng hạn như hệ tọa độ Descartes trong mặt phẳng Euclide hai chiều, hoặc hệ tọa độ Descartes trong không gian ba chiều. Trong hình học, điểm được biểu thị bằng một chấm trên bề mặt.
Đường thẳng là gì?
Đường thẳng là một khái niệm trong hình học không gian, được xác định bởi hai điểm khác nhau trên không gian Euclide ba chiều.
Đường thẳng không có độ dài và được mô tả bởi một phương trình tuyến tính có dạng ax + by + cz + d = 0, trong đó a, b, c là các hằng số không đồng thời bằng 0 và (x, y, z) là tọa độ của một điểm trên đường thẳng. Một cách đơn giản, đường thẳng là tập hợp các điểm có thể được vẽ bằng một nét duy nhất mà không có sự thay đổi hướng.
Đoạn thẳng là gì?
Đoạn thẳng là một đoạn đường có hai đầu mút được xác định bởi hai điểm khác nhau trên đường thẳng đó. Điểm bắt đầu được gọi là đầu mút đầu tiên và điểm kết thúc được gọi là đầu mút thứ hai. Khi nói về đoạn thẳng, ta thường sử dụng ký hiệu AB để chỉ đoạn thẳng có đầu mút A và B. Đoạn thẳng có độ dài bằng khoảng cách giữa hai đầu mút.
Giao điểm là gì?
Trong hình học, giao điểm là điểm chung của hai hay nhiều đối tượng hình học, chẳng hạn như hai đường thẳng, hai đường cong, đường thẳng và mặt phẳng, đường cong và mặt phẳng, hai mặt phẳng, hai đa giác, và nhiều hình khác nữa.
Nó là điểm đóng vai trò giống như một “kết nối” giữa hai hay nhiều đối tượng hình học khác nhau. Điểm giao điểm này có tọa độ và các tính chất hình học đặc trưng tùy thuộc vào các đối tượng hình học mà nó đang là điểm giao điểm của chúng.
Cách tìm các giao điểm của đường thẳng, mặt phẳng
Để tìm giao điểm của đường thẳng hoặc mặt phẳng, ta cần xác định điểm hoặc các điểm chung của chúng. Trong trường hợp đường thẳng nằm trên một mặt phẳng, để tìm giao điểm ta có thể áp dụng các bước sau:
- Bước 1: Xác định một mặt phẳng (P) chứa đường thẳng.
- Bước 2: Tìm giao tuyến (d) của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (O) chứa đường thẳng cần tìm giao điểm.
- Bước 3: Xác định điểm giao (A) của đường thẳng cần tìm giao điểm và đường (d) tìm được ở bước 2.
Lưu ý rằng, hai đường thẳng sẽ cắt nhau nếu và chỉ nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng.
Đáp án: 12 đường thẳng có nhiều nhất bao nhiêu giao điểm?
Để trả lời câu hỏi trên, chúng ta đưa ra một ví dụ như sau: Cho 12 đường thẳng, trong 12 đường thẳng này sẽ có hai đường thẳng cắt nhau. Đồng thời không có đường thẳng nào có trùng giao điểm. Hãy tính số giao điểm nhiều nhất của 12 đường thẳng này.
– Lời giải tham khảo:
- Chọn một đường thẳng trong 12 đường thẳng đã cho trước. Sau đó đường thẳng này sẽ cắt với 11 đường thẳng kia, số giao điểm được tạo ra lúc này là 11 giao điểm.
- Bởi vì có 12 đoạn thẳng nên số giao điểm lập được là: 12×11 = 132 (giao điểm)
- Vì số giao điểm lặp lại 2 lần nên số giao điểm có trong thực tế sẽ là: 132 : 2 = 66 (giao điểm).
Như vậy đáp án cho bài toán: 12 đường thẳng có nhiều nhất bao nhiêu giao điểm trong ví dụ trên là 66 giao điểm.
Dạng toán liên quan tới giao điểm của 2 đường thẳng
Các dạng bài toán liên quan đến giao điểm của hai đường thẳng có thể được phân thành hai loại sau:
Bài toán tìm giao điểm của hai đường thẳng
Để tìm giao điểm của hai đường thẳng, ta cần xác định điểm chung của hai đường thẳng đó, và điểm chung này chính là giao điểm cần tìm.
Bài toán tính số giao điểm của n đường thẳng (n > 1)
Ví dụ: Cho n đường thẳng (n > 1), trong đó hai đường thẳng bất kỳ đều cắt nhau tại một điểm và không có hai đường thẳng nào trùng nhau. Hãy tính số giao điểm của n đường thẳng đó.
Để tính số giao điểm của n đường thẳng này, ta chọn một đường thẳng bất kỳ trong số n đường thẳng đã cho. Sau đó, đường thẳng này cắt với n – 1 đường thẳng còn lại và tạo ra n – 1 giao điểm. Vì có n đường thẳng nên tổng số giao điểm được tạo ra là n(n-1).
Tuy nhiên, mỗi giao điểm được đếm hai lần (bởi vì mỗi đường thẳng cắt qua đường thẳng kia tại một giao điểm). Vì vậy, số giao điểm thực tế là n(n-1)/2.
Bài tập vận dụng về giao điểm của đường thẳng
Bài 1: Cho 4 điểm A, B, C, D không nằm trên một mặt phẳng và không có 3 điểm nào thẳng hàng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BC. Trên đoạn thẳng BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD. Hỏi giao điểm của đường thẳng CD và đường thẳng mp(MNP) nằm trên đường thẳng nào?
– Lời giải:
Ta có NP ⊂ (BCD) ⇒ NP và CD đồng phẳng.
Gọi E là giao điểm của NP và CD sao cho NP ⊂ (MNP), suy ra CD ∩ (MNP) = E.
Vậy, giao điểm của đường thẳng CD và đường thẳng mp(MNP) là điểm E nằm trên đường thẳng CD.
Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB và CD; G là trọng tâm của tam giác BCD. Tìm giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD).
Lời giải:
+ Vì G là trọng tâm của tam giác BCD và F là trung điểm của CD, nên G thuộc đường thẳng BF và BF nằm trên mặt phẳng (ABF).
+ Ta có E là trung điểm của đoạn thẳng AB, nên E cũng thuộc đường thẳng BF và do đó, E cũng nằm trên mặt phẳng (ABF).
+ Chọn mặt phẳng phụ chứa đường thẳng EG là (ABF).
+ Chúng ta dễ dàng tìm được giao tuyến của mặt phẳng (ACD) và mặt phẳng (ABF) là đường thẳng AF.
+ Trong mặt phẳng (ABF), gọi M là giao điểm của đường thẳng EG và đường thẳng AF.
–> Vậy, giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là điểm M thuộc đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD).
Tóm lại, chúng ta đã có đáp án cho câu hỏi: 12 đường thẳng có nhiều nhất bao nhiêu giao điểm qua bài viết trên. Liên quan đến câu hỏi này cũng có khá nhiều dạng toán tìm giao điểm của 2 đường thẳng mà mọi người có thể tìm hiểu kỹ hơn ở bài viết trên.