Cách xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian ba chiều, việc tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng là một vấn đề cơ bản và quan trọng trong hình học không gian. Đây là một trong những kiến thức căn bản mà mỗi học sinh, sinh viên học môn hình học đều cần nắm vững. Vì vậy, trong bài viết sau đây của Dapanchuan.com, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về cách xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng để giải quyết các bài tập liên quan.

Định nghĩa giao điểm, đường thẳng, mặt phẳng

Trước khi tìm hiểu cách xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng thì mọi người cần tìm hiểu các khái niệm về giao điểm, đường thẳng, mặt phẳng:

Giao điểm là gì?

Giao điểm trong hình học là điểm chung của hai đường thẳng, hai đường cong hoặc một đường thẳng và một đường cong trong không gian hai hoặc ba chiều. Nói cách khác, đây là điểm nơi hai hình học hình dạng cắt nhau hoặc tiếp xúc với nhau.

Trong không gian hai chiều, giao điểm của hai đường thẳng là điểm duy nhất mà cả hai đường đều đi qua. Nếu hai đường cong cắt nhau, giao điểm của chúng là tập hợp các điểm chung trên hai đường cong đó. Nếu một đường thẳng tiếp xúc với một đường cong, giao điểm của chúng là điểm tiếp xúc.

Trong không gian ba chiều, giao điểm của hai đường thẳng là một điểm mà cả hai đường đều đi qua. Giao điểm của hai mặt phẳng là đường thẳng chung của hai mặt phẳng đó.

Nếu hai đường cong cắt nhau, giao điểm của chúng là tập hợp các điểm chung trên hai đường cong đó. Nếu một đường thẳng tiếp xúc với một đường cong, giao điểm của chúng là điểm tiếp xúc.

Đường thẳng là gì?

Trong hình học, đường thẳng là một tập hợp các điểm liên tục và vô hạn, có chiều dài không đo được, và mà mỗi cặp điểm trên đó đều có thể được nối bằng một đoạn thẳng.

Một số tính chất của đường thẳng bao gồm:

  • Hai đường thẳng có thể cắt nhau tại một điểm duy nhất.
  • Hai đường thẳng có thể song song với nhau, nghĩa là chúng không bao giờ cắt nhau.
  • Hai đường thẳng có thể trùng lên nhau, tức là chúng có cùng một tập hợp các điểm.

Mặt phẳng là gì?

Trong hình học, mặt phẳng là một tập hợp các điểm liên tục và vô hạn trên không gian ba chiều, mà bất kỳ ba điểm nào trên mặt phẳng đó đều thẳng hàng. Một mặt phẳng có thể được định nghĩa bằng cách sử dụng các phương trình tuyến tính, tương tự như đường thẳng trong không gian hai chiều.

Mặt phẳng có hai tính chất quan trọng:

  • Nó là một không gian phẳng và không có độ dày.
  • Nó có thể được xác định bằng cách xác định bất kỳ ba điểm không thẳng hàng nào trên mặt phẳng đó.

Mặt phẳng có thể được sử dụng để biểu diễn các khối hình học và các đối tượng trong không gian ba chiều, và được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, chẳng hạn như hình học, vật lý, toán học, và kỹ thuật.

Các tính chất của mặt phẳng cũng rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác như trong định hướng và cắt mặt của các đối tượng khác trong không gian ba chiều.

Cách xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Để tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), có hai phương pháp sau đây:

xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Cách xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

– Phương pháp 1:

  • Nếu đường thẳng d và mặt phẳng (P) đang cho đều nằm trên một mặt phẳng (Q) khác, ta có thể chọn một đường thẳng a bất kỳ trên mp(Q) sao cho đường thẳng a cắt đường thẳng d tại điểm A.
  • Khi đó, điểm A chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

– Phương pháp 2:

  • Chọn một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d, và tìm điểm giao của mặt phẳng (P) với mặt phẳng (Q) – đường thẳng này gọi là đường tuyến của (P) và (Q).
  • Tìm giao điểm của đường thẳng d với đường tuyến vừa tìm được – gọi là điểm A.
    Khi đó, điểm A chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Bài tập vận dụng cách xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Bài 1: Cho 4 điểm A, B, C, D không nằm trên một mặt phẳng và không có 3 điểm nào thẳng hàng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn thẳng BD, lấy điểm P sao cho BP = 2PD. Giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP) là giao điểm của đường thẳng nào?

Lời giải:

Cách 1:

  • Chọn mặt phẳng phụ chứa đường thẳng CD là mặt phẳng (BCD).
  • Do đường thẳng NP không song song với đường thẳng CD nên NP cắt CD tại một điểm E.
  • Vì N là trung điểm của BC nên đường thẳng NE song song với đường thẳng BE, từ đó suy ra NE vuông góc với NP và từ đó suy ra E nằm trên mặt phẳng (MNP).

Vậy giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP) là điểm E.

Cách 2:

  • Vì M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC nên đường thẳng MN song song với đường thẳng AB và vuông góc với đường thẳng CD.
  • Ta có BP = 2PD nên giao điểm của BP và CD là điểm Q sao cho CQ = 2QD.
  • Gọi R là giao điểm của đường thẳng BQ và MN. Vì MN vuông góc với CD nên BR vuông góc với CD và từ đó suy ra BQ vuông góc với CD.
  • Do BP song song với MN nên R là trung điểm của BQ.
  • Khi đó, ta có CR song song với BQ và từ đó suy ra CR song song với BD.

Vậy giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP) là điểm R.

Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của đường thẳng AB và CD. Còn G là trọng tâm của tam giác BCD. Vậy giao điểm của đường thẳng EG và mp (ACD) là ?

Lời giải:

Để tìm giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD), ta thực hiện các bước sau:

  • Từ định nghĩa, ta có E là trung điểm của AB và F là trung điểm của CD, nên ta có EF song song với đường thẳng AD.
  • Vì G là trọng tâm tam giác BCD nên G nằm trên đường thẳng song song với EF và đi qua trung điểm của BC. Do đó, ta có EG song song với đường thẳng đó.
  • Vì EG song song với đường thẳng trên nên EG cắt mặt phẳng (ACD) tại một điểm duy nhất. Ta có thể chọn một điểm H bất kỳ trên đường thẳng EG và xác định giao tuyến của mặt phẳng (ACD) với đường thẳng EH. Khi đó, ta chỉ cần tìm giao điểm của EH và mặt phẳng (ACD).
  • Để tìm giao điểm của EH và (ACD), ta có thể chọn mặt phẳng phụ chứa EH và giao tuyến của (ACD) với mặt phẳng đó là một đường thẳng. Gọi đường thẳng đó là d. Dễ dàng thấy rằng AF, đường chéo của hình bình hành ADFE, là một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ACD) và song song với d. Khi đó, ta có thể tìm giao điểm của AF và EH, gọi là M, để xác định giao điểm của EH và (ACD).

Vậy giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là điểm M thuộc cả đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD).

Bài 3: Cho tứ giác ABCD với AC và BD giao nhau tại điểm O. Điểm S không thuộc mặt phẳng của tứ giác. Trên đoạn thẳng SC, lấy một điểm M khác điểm S và C. Gọi K là giao điểm của đường thẳng SO và đường thẳng AM. Giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng ABM là gì?

Lời giải:

  • Để giải quyết bài toán này, ta chọn một mặt phẳng phụ chứa đường thẳng SD và đặt tên nó là mặt phẳng (SBD). Tiếp theo, ta cần tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và (ABM).
  • Ta có điểm B thuộc cả hai mặt phẳng (SBD) và (ABM), do đó B là điểm giao tuyến của hai mặt phẳng này (ký hiệu là B = (SBD) ∩ (ABM)).
  • Trong mặt phẳng (ABCD), ta gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong mặt phẳng (SAC), ta gọi K là giao điểm của đường thẳng AM và đường thẳng SO.
  • Ta có K thuộc cả hai đường thẳng SO và AM, do đó K cũng thuộc cả hai mặt phẳng (SBD) và (ABM) (ký hiệu là K = (SBD) ∩ (ABM)).
  • Từ hai điểm giao tuyến B và K của hai mặt phẳng (SBD) và (ABM), ta suy ra rằng đường thẳng BK là đường giao tuyến của hai mặt phẳng này.

Vậy, trong mặt phẳng (SBD), ta gọi N là giao điểm của đường thẳng SD và đường thẳng BK. Khi đó, N chính là giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng ABM.

Bài 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, M là một điểm trên cạnh SC, N là trên cạnh BC. Gọi O = AC ∩ BD, J = AN ∩ BD và gọi I = SO ∩ AM. Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN).

Lời giải:

Trong mặt phẳng (SBD), gọi K = IJ ∩ SD.

Vì I thuộc cạnh AM và J thuộc cạnh AN của đáy ABCD, nên I và J cùng thuộc mặt phẳng (AMN).

Suy ra, đường thẳng IJ cũng nằm trong mặt phẳng (AMN).

Vậy, K là giao điểm của đường thẳng IJ và SD trong mặt phẳng (SBD).

Từ đó, ta có K là giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN).

Bài 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy ABCD có các cạnh đối diện không song song với nhau và M là một điểm trên cạnh SA. Tìm giao điểm của đường thẳng SB với mặt phẳng (MCD).

Lời giải:

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E = AB ∩ CD.

Trong mặt phẳng (SAB), gọi N là giao điểm của đường thẳng ME và SB.

Ta có: N ∈ EM ⊂ (MCD) ⇒ N ∈ (MCD) (1)

Lại có: N ∈ SB (2)

Từ (1) và (2) suy ra: N = SB ∩ (MCD).

Bài 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy ABCD, có các cạnh đối diện không song song với nhau, M là một điểm trên SA. Tìm giao điểm của đường thẳng MC và mp (SBD).

Lời giải:

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi I = AC ∩ BD.

Trong mặt phẳng (SAC), gọi K = MC ∩ SI.

Ta có K ∈ SI ⊂ (SBD) và K ∈ MC, do đó K = MC ∩ (SBD).

Bài 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi E; F; G lần lượt là điểm trên các cạnh AB, AC và BD,. sao cho EF không song song với BC và EG không song song với AD. Tìm giao điểm của đường AD với mp (EFG).

Lời giải:

Trong mặt phẳng (ABD), gọi H là giao điểm của đường GE và AD. Ta có:

  • H thuộc đường GE, mà GE nằm trong mặt phẳng (EFG), suy ra H cũng thuộc (EFG).
  • H thuộc đường AD.

Do đó, H là giao điểm của đường AD và mặt phẳng (EFG).

Thông qua bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu cách xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian ba chiều thông qua những bài toán cụ thể. Việc hiểu và áp dụng được phương pháp này sẽ giúp chúng ta giải quyết một số bài toán trong hình học không gian, đặc biệt là trong lĩnh vực định hướng và thiết kế không gian.

Viết một bình luận