Cách chứng minh tam giác vuông lớp 9 là một dạng bài vô cùng phổ biến trong chương trình học bộ môn toán của khối lớp này. Vậy để nắm rõ cách chứng minh tam giác vuông, thì hãy cùng tham khảo qua nội dung bài viết sau đây của DapAnChuan.com
Tìm hiểu tam giác vuông là gì?
Tam giác vuông là một dạng tam giác đặc biệt trong đó có một góc được gọi là góc vuông, tức là góc có kích thước chính xác là 90 độ. Góc này thường được ký hiệu bằng một hình vuông ở góc đó
Trong tam giác vuông, có ba cạnh, mỗi cạnh đối ứng với một góc. Cạnh đối diện với góc vuông được gọi là cạnh huyền. Hai cạnh còn lại kề với góc vuông được gọi là cạnh góc vuông. Đặc biệt là chỉ có một góc trong tam giác này có độ lớn là 90 độ, và hai góc còn lại khi cộng lại có tổng độ lớn là 90 độ.
Dấu hiệu nhận biết tam giác vuông
Để chứng minh một tam giác là tam giác vuông, trước tiên ta phải biết tam giác vuông có những dấu hiệu nào để nhận biết. Sau đây là 5 dấu hiệu nhận biết tam giác vuông:
- Dấu hiệu 1: Để biết tam giác là tam giác vuông, phải tồn tại ít nhất một góc trong tam giác có độ lớn là 90 độ.
- Dấu hiệu 2:Trong tam giác vuông, hai góc nhọn (độ lớn nhỏ hơn 90 độ) phải cộng lại thành 90 độ.
- Dấu hiệu 3: Nếu a, b, và c là độ dài các cạnh của tam giác và a2=b2+c2, hoặc b2=a2+c2, hoặc c2=a2+b2, thì tam giác là tam giác vuông.
- Dấu hiệu 4:Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh bằng nửa cạnh đó.
- Dấu hiệu 5: Nếu tam giác nội tiếp đường tròn và một cạnh của tam giác là đường kính của đường tròn đó, thì tam giác là tam giác vuông.
Những dấu hiệu này giúp xác định xem một tam giác có phải là tam giác vuông hay không.
Cách chứng minh tam giác vuông lớp 9
Để chứng minh tam giác vuông lớp 9, thì mọi người có thể tham khảo qua các cách được chia sẻ chi tiết sau đây
Chứng minh trong một tam giác có một góc bằng 90 độ
Để chứng minh tam giác vuông có một góc bằng 90 độ, ta có thể thực hiện các bước sau:
Đặt góc cần chứng minh vào góc của một tứ giác: Lựa chọn một tứ giác tùy ý và đặt tam giác vuông vào trong góc đó, mà chúng ta muốn chứng minh là vuông và có góc 90 độ.
Chứng minh tứ giác thuộc một trong các hình: hình chữ nhật, hình vuông hoặc góc tạo bởi 2 đường chéo của hình thoi:
- Hình chữ nhật: Chứng minh rằng tứ giác có bốn góc vuông và các cạnh đối diện có độ dài bằng nhau.
- Hình vuông: Chứng minh rằng tứ giác có bốn góc vuông và các cạnh đều có độ dài bằng nhau.
- Góc tạo bởi 2 đường chéo của hình thoi: Chứng minh rằng tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại một điểm và chia tứ giác thành hai tam giác cân có góc bằng nhau.
Khi đã chứng minh tứ giác thuộc một trong các hình trên, ta cũng đã chứng minh tam giác vuông với góc bằng 90 độ.
Chứng minh trong một tam giác có tổng hai góc nhọn bằng 90 độ
Để chứng minh một tam giác là tam giác vuông, ta cần chứng minh rằng trong tam giác đó có tồn tại một góc vuông, tức là một góc có độ lớn bằng 90 độ. Dưới đây là một cách chứng minh tam giác vuông bằng cách sử dụng tính chất: “trong một tam giác có tổng hai góc nhọn bằng 90 độ”.
- Xác định ba góc của tam giác
- Kiểm tra xem tổng hai góc nhọn bằng 90 độ
Nếu tìm thấy tổng hai góc nhọn bằng 90 độ trong tam giác, thì tam giác đó được gọi là tam giác vuông, và đồng nghĩa với việc góc còn lại sẽ là 90 độ
Chứng minh trong tam giác vuông khi biết độ dài 3 cạnh.
Ta sử dụng định lý Pytago đảo để chứng minh một tam giác là tam giác vuông khi đã biết độ dài ba cạnh của tam giác đó.
* Định lý Pytago đảo được định nghĩa:
Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.
Trong ∆ABC có BC^2 = AB^2 + AC^2
=> góc BAC = 90 độ ==> ∆ABC vuông tại A
Cách chứng minh:
Bước 1. Tính bình phương của từng cạnh của tam giác.
Bước 2. Xác định cạnh huyền (cạnh dài nhất) và hai bình phương cạnh còn lại.
Bước 3. So sánh bình phương của cạnh huyền với tổng bình phương hai cạnh còn lại. Nếu hai giá trị bằng nhau, thì tam giác là tam giác vuông.
Chứng minh trong một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy.
Đường trung tuyến trong một tam giác
– Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng 2/ 3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
– Giao điểm của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm.
– Vị trí của trọng tâm tam giác: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Tính chất đường trung tuyến của tam giác
+ Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ABC có các trung tuyến AI, BM, CN thì ta sẽ có biểu thức:
AG/ AI = BG/ BM = CG/ CN = 2/ 3
Đường trung tuyến dùng để chứng minh tam giác vuông:
Trong tam giác ABC ở trên ta có AM là đường trung tuyến (M là trung điểm đoạn BC). Nhiệm vụ của các em là chứng minh AM bằng ½ đoạn BC
Chứng minh tam giác vuông nội tiếp đường tròn
Cách chứng minh:
Bước 1: Chứng minh tam giác nội tiếp đường tròn (Tam giác có ba đỉnh nằm trên đường tròn)
Bước 2: Chứng minh cạnh huyền của tam giác đó trùng với đường kính của đường tròn
Ví dụ: Chứng minh tam giác ABC vuông
Xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC.
Ta có: OA = OB = OC = r
Suy ra OA = 1/2 BC
do đó tam giác ABC vuông tại A (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)
Cách chứng minh tam giác vuông cân
Tam giác vuông cân là gì?
Tam giác vuông cân vừa là tam giác vuông, vừa là tam giác cân. Tức là tam giác đó có một góc vuông (bằng 90 độ) và hai cạnh góc vuông của tam giác bằng nhau.
Tam giác ABC như hình trên có:
+ Góc A bằng 90 độ
+ Cạnh AB = cạnh BC
=> Tam giác ABC vuông cân tại A
Tính chất của tam giác vuông cân
Sau đây là những tính chất của tam giác vuông cân, các em có thể tham khảo để có thể vận dụng trong quá trình làm bài tập
- Tính chất 1: Hai góc nhọn ở đáy của tam giác vuông cân có giá trị bằng nhau và mỗi góc đó đều là 45 độ.
- Tính chất 2: Các đường trung tuyến, đường phân giác và đường cao kẻ từ đỉnh của góc vuông trong tam giác vuông cân sẽ trùng nhau và có độ dài bằng một nửa cạnh huyền của tam giác.
Cách chứng minh tam giác vuông cân
Để chứng minh tam giác vuông cân thì chúng ta cần xác định các yếu tố sau đây
Chứng minh tam giác có 1 góc vuông và 2 cạnh góc vuông bằng nhau.
- Xác định tam giác vuông: Đầu tiên, xác định tam giác có tồn tại một góc vuông. Điều này có nghĩa là cần kiểm tra xem một trong ba góc của tam giác có độ lớn là 90 độ.
- Xác định hai cạnh kề góc vuông: Sau khi xác định tam giác có góc vuông, xác định hai cạnh kề góc vuông. Điều này là quan trọng vì tam giác vuông cân có hai cạnh kề góc vuông có độ dài bằng nhau.
- Chứng minh hai cạnh kề góc vuông bằng nhau: Sử dụng các phương pháp chứng minh hình học, chứng minh rằng hai cạnh kề góc vuông trong tam giác đó có độ dài bằng nhau. Điều này xác nhận tam giác là tam giác vuông cân.
Quy trình trên giúp chúng ta xác định tam giác vuông cân bằng cách chứng minh rằng tam giác đó có một góc vuông và hai cạnh kề góc vuông bằng nhau.
Chứng minh tam giác vuông có 1 góc nhọn bằng 45 độ.
Để chứng minh một tam giác vuông cân, trước tiên ta cần hiểu rõ các điều kiện của một tam giác vuông cân. Một tam giác vuông cân là tam giác có một góc vuông, nghĩa là góc bằng 90 độ, và hai cạnh góc đó gặp nhau tạo thành góc nhọn bằng 45 độ.
- Đầu tiên là xác định góc vuông trong tam giác. Điều này dựa vào tính chất cơ bản của tam giác vuông, mà mỗi tam giác vuông đều có một góc bằng 90 độ.
- Tiếp theo, ta cần xác định một trong hai góc cạnh kề của góc vuông, chẳng hạn góc bên trái hoặc góc bên phải của góc vuông.
- Sau đó, ta sẽ chứng minh rằng góc đó có giá trị 45 độ bằng cách sử dụng các phương pháp toán học
- Cuối cùng, sau khi chứng minh được góc bên trái của góc vuông có giá trị là 45 độ, ta có thể kết luận rằng tam giác đó là tam giác vuông cân, vì nó thỏa mãn điều kiện của một tam giác vuông cân với một góc vuông và một góc nhọn bằng 45 độ.
Chứng minh tam giác có 2 cạnh bằng nhau và 1 góc đáy bằng 45 độ.
Để chứng minh một tam giác vuông cân, ta cần chứng minh rằng tam giác có hai cạnh bằng nhau và một góc vuông.
- Đầu tiên, chúng ta xác định hai cạnh của tam giác và xem xét xem chúng có bằng nhau không. Gọi hai cạnh này là AB và AC.
- Tiếp theo, chúng ta cần chứng minh rằng có một góc BAC bằng 45 độ. Và chúng ta có thể sử dụng thông tin rằng tam giác vuông ABC có một góc vuông tại B. Vì ABC là tam giác vuông, nên một trong các góc là 90 độ. Giả sử góc B là góc vuông.
- Sau đó, chúng ta cần kiểm tra xem AB và AC có bằng nhau hay không. Nếu chúng bằng nhau, chúng ta đã chứng minh được tam giác ABC là tam giác vuông cân với một góc 45 độ tại A.
Tóm lại, để chứng minh tam giác vuông cân, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
- Xác định hai cạnh AB và AC.
- Chứng minh rằng AB=AC.
- Chứng minh rằng BAC là góc 45 độ.
Nếu cả hai điều kiện trên được chứng minh, ta kết luận tam giác là tam giác vuông cân.
Một số ví dụ
Xem các ví dụ chứng minh tam giác vuông cân dưới đây:
Ví dụ 1:
Cho tam giác DEF vuông tại E. Để tam giác DEF là tam giác vuông cân cần thêm điều kiện gì?
Lời giải:
Để tam giác DEF là tam giác vuông cân
Mà tam giác DEF vuông tại E (giả thiết)
<=> tam giác DEF cân tại E.
<=> ED = EF hoặc góc D = góc F.
Ví dụ 2:
Cho tam giác MNQ cân tại N. Để tam giác MNQ là tam giác vuông cân cần thêm điều kiện gì?
Lời giải:
Để tam giác MNQ là tam giác vuông cân
Mà tam giác MNQ cân tại N (giả thiết)
<=> tam giác MNQ vuông tại N
<=> góc N = 90 độ
hoặc tam giác MNQ cân tại N có góc M = 45 độ
hoặc tam giác MNQ cân tại N có góc P = 45 độ
Ví dụ 3:
Cho tam giác XYZ vuông tại X. Chứng minh tam giác XYZ vuông cân tại X nếu
a) Góc Y = 45°;
b) XY = XZ.
Lời giải:
a) Xét ∆XYZ có:
Góc X + góc Y + góc Z = 180 độ
=>90 độ + 45 độ + góc Z = 180 độ
=> Góc Z = 45 độ
=> Góc Z = góc Y = 45 độ
=> Tam giác XYZ cân tại X (dấu hiệu nhận biết)
Mà tam giác XYZ lại vuông tại X (giả thiết)
=> Tam giác XYZ vuông cân tại X. (dấu hiệu nhận biết)
b) Xét ∆XYZ có: XY = XZ (giả thiết)
=> ∆XYZ cân tại X (dấu hiệu nhận biết)
Mà ∆XYZ vuông tại X (giả thiết)
=> ∆XYZ vuông cân tại X (dấu hiệu nhận biết)
Một số bài tự luyện
Bài 1. Cho tam giác XYZ vuông cân tại X. Điểm A ở trong tam giác sao cho góc AYZ = 30° và góc AZY bằng 15°. Chứng minh các tam giác XAZ, XAY cân.
Bài 2. Cho tam giác XYZ vuông cân tại X, cạnh bên bằng 5 và hai điểm A, B bất kỳ. Chứng minh rằng trên các cạnh của tam giác XYZ tồn tại một điểm sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến A và B lớn hơn 7.
Bài 3. Cho tam giác XYZ vuông cân tại X, góc Z bằng 15°. Trên tia YX lấy điểm K sao cho YK = 2XZ. Chứng minh tam giác KYZ cân.
Bài tập chứng minh tam giác vuông lớp 9 có đáp án
Bài 1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O). Tiếp tuyến thứ ba tiếp xúc với nửa đường tròn (O) tại M cắt Ax, By lần lượt tại D và E. Chứng minh tam giác DOE là tam giác vuông
Lời giải:
+ Có Ax và MD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D suy ra OD là tia phân giác của góc AOM
+ Có By và ME là hai tiếp tuyến cắt nhau tại E suy ra OE là tia phân giác của góc BOM
+ Có góc AOM và góc BOM là hai góc kề bù suy ra góc AOM + góc BOM = 90 độ
Mà góc AOD = góc DOM = góc AOM chia 2 (OD là tia phân giác của góc AOM)
Và góc BOE = góc MOE = góc BOM chia 2 (OE là tia phân giác của góc BOM)
Suy ra ta có:
2 lần góc DOM + 2 lần góc MOE = 180 độ
=> Góc DOM + góc MOE = 90 độ
=> Góc DOE = 90 độ
Vậy tam giác DOE là tam giác vuông
Bài 2: Cho tam giác ABC biết góc B = 60 độ, BC = 8cm; AB + AC = 12cm. Tính độ dài cạnh AB.
Lời giải:
Dựng AH vuông góc với BC, đặt AB = x, ta có : AH = x.sin B = x.sin60 = x.căn 3 / 2
HB = x.cos 60 = x/2 => HC = BC – HB = 8 – x/2 = (16 – x)/2
AC = 12 – AB = 12 – x
Trong tam giác vuông AHC : AH^2 + HC^2 = AC^2
hay (x. căn 3 /2)^2 + (16 – x)^2/4 = (12 – x)^2
<=> 3x^2 + (16 – x)^2 = 4(12 – x)^2
Giải phương trình này tìm được x = 5
Bài 3: Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O. Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm C, trên tia By lấy điểm D sao cho góc COD bằng 90 độ. Chứng minh rằng AB^2 = 4AC.BD
Lời giải:
Kẻ OJ ⊥ AB tại O; OK ⊥ CD tại K
⇒ OJ // AC // BD và JC = JD = OJ = CD/2
ΔCJO cân tại J
=> Góc JCO = góc JOC
Lại có:
Góc ACO = góc JCO (so le trong)
=> Góc ACO = góc JCO => Góc ACO = góc KCO
Xét ΔACO và ΔKCO có:
Góc ACO = góc KCO
Góc CAO = góc CKO = 90 độ
CO : cạnh chung
⇒ ΔACO = ΔKCO (cạnh huyền – góc nhọn)
⇒ AC = CK; KO = AO = ½ AB ( O là trung điểm của AB)
Chứng minh tương tự, ta có: KD = DB
Xét tam giác vuông COD có:
KO2 = KC.KD = AC.BD
⇔ 1/4.AB2 = AC.BD ⇔ 4AC.BD = AB2
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Từ M là điểm bất kì trên cạnh BC kẻ MD ⊥ AB, ME ⊥ AC. Chứng minh 5 điểm A, D, M, H, E cùng nằm trên một đường tròn
Lời giải:
Vì ba tam giác vuông ADM, AEM, AHM có chung cạnh huyền AM nên 3 đỉnh góc vuông nằm trên đường tròn đường kính AM có tâm là trung điểm của AM.
Vây 5 điểm A, D, H, E cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A gọi D là điểm đối xứng với A qua cạnh BC. Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
Lời giải:
Vì D đối xứng với A qua BC, B đối xứng với B qua BC, C đối xứng với C qua BC nên góc BAC đối xứng với góc BDC qua BC.
Suy ra góc BDC = góc BAC = 90 độ
Hai tam giác vuông BAC và BDC có chung cạnh huyền BC nên hai đỉnh góc vuông A, D nằm trên đường tròn đường kính BC, có tâm là trung điểm của cạnh huyền BC.
Vậy 4 điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 6: Cho ∆XYZ vuông cân tại X. Từ X kẻ đường vuông góc với YZ tại H.
a) Chứng minh H là trung điểm của YZ.
b) Chứng minh XH là tia phân giác của góc X.
c) Chứng minh tam giác HXY và HXZ là tam giác vuông cân.
Lời giải:
a) Vì ∆XYZ vuông cân tại X (gt)
=> XY = XZ và góc Y = góc Z = 45°.
Xét ∆XYH có:
Góc X1 + góc Y + góc H1 = 180 độ
=> Góc X1 = 180 độ – góc Y – góc H1
=> Góc X1 = 180 độ – 45 độ – 90 độ = 45 độ
Chứng minh tương tự được góc X2 = 45 độ
Xét ∆XYH và ∆XZH có:
XY = XZ (chứng minh trên)
góc X1 = góc X2 = 45 độ (chứng minh trên)
góc Y = góc Z = 45 độ (chứng minh trên)
=> ∆XYH = ∆XZH (g.c.g)
=> HY = HZ (2 cạnh tương ứng)
b) Vì góc X1 = góc X2 = 45 độ (cmt)
=> XH là tia phân giác của
c) Xét ∆XYH có:
góc Y1 = góc X1 = 45 độ
=> ∆XYH là tam giác vuông cân.
Chứng minh tương tự ∆XZH là tam giác vuông cân.
Bài 7: Tam giác nào là tam giác vuông trong các tam giác có độ dài ba cạnh như sau:
A. 15 cm; 8 cm; 18 cm
B. 21 cm; 20 cm; 29 cm
C. 5 cm; 6 cm; 8 cm
D. 2 cm; 3 cm; 4 cm
Lời giải: Để xét xem một tam giác biết độ dài ba cạnh có phải là tam giác vuông không thì ta xét xem bình phương cạnh lớn nhất có bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại không, nếu bằng thì đó là tam giác vuông, nếu không thì bộ ba cạnh đó không lập thành tam giác vuông. (áp dụng định lý đảo của định lý Py – ta – go).
+ Ta có: 15^2 + 8^2 = 289 ≠ 324 = 18^2 A sai
+ Lại có: 21^2 + 20^2 = 841 = 29^2 ⇒ B đúng
+ 5^2 + 6^2 = 61 ≠ 64 = 8^2 ⇒ C sai
+ 2^2 + 3^2 = 13 ≠ 16 = 4^2 ⇒ D sai
Chọn đáp án B
Nội dung bài viết trên chia sẻ về cách chứng minh tam giác vuông lớp 9. Hy vọng qua đó các em sẽ nắm rõ để dễ dàng giải các bài toán về chứng minh tam giác vuông nhanh chóng và chính xác. Hãy tìm hiểu nhiều bài viết khác của DapAnChuan.com để phát triển tư duy làm Toán qua từng ngày nha.