Các hệ thức lượng trong tam giác vuông bao gồm nhiều công thức liên quan nên việc áp dụng công thức vào bài tập cũng tương đối khó. Sau đây, bài viết của DapAnChuan.com sẽ giúp các học sinh lớp 9 nắm rõ và hoàn thành bài tập một cách dễ dàng qua việc vận dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông
Hệ thức lượng trong tam giác vuông là gì?
Hệ thức lượng giác trong tam giác vuông là các quy tắc và công thức liên quan đến các góc và cạnh trong tam giác vuông. Trong một tam giác vuông, có ba góc, một góc vuông (90 độ) và hai góc nhọn.
Các hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho tam giác ΔABC vuông tại A, đường cao AH (H thuộc BC), ta có các hệ thức như sau:
Hệ thức về định lý Pytago
Định lý Pytago: Trong tam giác vuông, bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vuông.
BC2 = AB2 + AC2 (Định lý Pytago) hay a2 = c2 + b2
Hệ thức giữa cạnh huyền, cạnh góc vuông và hình chiếu của cạnh góc vuông lên cạnh huyền
Trong một tam giác vuông, ta có một quy luật quan trọng về mối quan hệ giữa các cạnh. Bình phương của độ dài mỗi cạnh kề với góc vuông trong tam giác vuông bằng tích của độ dài cạnh huyền và độ dài hình chiếu của cạnh kề đó lên cạnh huyền.
AB2 = BC.BH và AC2 = BC.CH
Hệ thức giữa đường cao và hình chiếu của cạnh góc vuông lên cạnh huyền
Trong tam giác vuông, có một tính chất quan trọng liên quan đến độ dài đường cao và hình chiếu của hai cạnh góc vuông lên cạnh huyền. Đặc biệt, bình phương của độ dài đường cao bằng tích của độ dài hình chiếu của hai cạnh góc vuông lên cạnh huyền.
AH2 = BH.CH
Hệ thức giữa đường cao và hai cạnh góc vuông
Trong một tam giác vuông, quan hệ giữa nghịch đảo bình phương độ dài đường cao và tổng nghịch đảo bình phương độ dài hai cạnh góc vuông. Hay có thể hiểu rõ về hệ thức giữa đường cao và hai cạnh góc vuông là nghịch đảo bình phương độ dài đường cao trong tam giác vuông bằng giá trị tổng của nghịch đảo bình phương độ dài hai cạnh góc vuông.”
1/AH2 = 1/AB2 + 1/AC2
Hệ thức giữa cạnh huyền, cạnh góc vuông và đường cao
Trong tam giác vuông, có một quy tắc quan trọng liên quan đến độ dài các cạnh và đường cao. Quy tắc này được gọi là quy tắc vuông góc, và được hiểu là trong tam giác vuông, tích độ dài hai cạnh góc vuông (độ dài cạnh góc vuông) bằng tích độ dài cạnh huyền với độ dài đường cao tương ứng.
AB.AC = BC.AH
Hệ thức giữa cạnh và đường cao
Các hệ thức liên quan đến hệ thức lượng trong tam giác vuông
- AB bình = BH * BC
- AC bình = CH * BC
- AH bình = BH * CH
- AB * AC = AH * BC
- 1/đường cao bình = 1/AB bình * 1/AC bình
- Cạnh huyền trong tam giác bình phương bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông trong tam giác đó
Tỉ số lượng giác trong tam giác vuông
Trong một tam giác vuông, có ba tỉ số lượng giác chính quan trọng được sử dụng để mô tả mối quan hệ giữa các cạnh của tam giác. Đây là ba tỉ số lượng giác chính:
- Tỉ số (sin): Tỉ số sin của một góc trong tam giác vuông được định nghĩa là độ dài của cạnh ngược với góc đó chia cho độ dài cạnh huyền của tam giác. Ký hiệu: sin(A) a/a, sin(B) =b/c, sin(C) =a/b, trong đó A, B, C lần lượt là các góc của tam giác, và a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh tương ứng.
- Tỉ số (cos): Tỉ số cos của một góc trong tam giác vuông được định nghĩa là độ dài của cạnh kề với góc đó chia cho độ dài cạnh huyền của tam giác. Ký hiệu: cos(A) =b/c, cos(B) =a/c, cos(C) =a/b.
- Tỉ số (tan): Tỉ số tancủa một góc trong tam giác vuông được định nghĩa là độ dài của cạnh ngược với góc đó chia cho độ dài cạnh kề với góc đó. Ký hiệu: tan(A) = a/b, tan(B) = b/a, tan(C) = a/b.
Các tỉ số lượng giác này hữu ích trong việc giải các vấn đề liên quan đến tam giác và các ứng dụng trong toán học
Bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông
Giờ các em kết hợp các công thức trên và áp dụng vào làm các bài tập nhé!
Bài tập tự luận có lời giải
Bài 1: Tìm x, y
Giải. x, y trên hình vẽ là hai cạnh góc vuông.
Ta tìm cạnh huyền của tam giác vuông đang xét.
Cạnh huyền = 1 + 4 = 5
Áp dụng công thức liên quan đến hình chiếu và cạnh góc vuông, cạnh huyền:
Ta có: x² = 1.5 suy ra x = √5
và y² = 4.5 suy ra y = √20 = 2√5
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Cho biết AB = 3 cm, AC = 4 cm. Tính độ dài các đoạn thẳng BH, CH, AH và BC.
Giải.
a) Ta thấy ngay có thể tính cạnh huyền của tam giác ABC:
BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 25 suy ra BC = 5 cm.
Vậy ta có độ dài hai cạnh góc vuông và cạnh huyền, giờ có thể tính BH và CH dựa vào công thức liên quan đến hình chiếu, cạnh huyền và cạnh góc vuông.
Ta có: AB² = BH.BC suy ra BH = AB²/BC = 3²/5 = 9/5 cm
Tương tự, AC² = HC.BC suy ra HC = AC²/BC = 16/5 cm
Tính AH dựa vào hệ thức h² = b’.c’ tức là AH² = BH.CH = 144/25 suy ra AH = 12/5 cm
Bài 3: Tìm x, y
Giải.
Ta xác định x, y ở trên hình là độ dài hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
Mà ta có thể tính được cạnh huyền dựa vào Py-ta-go.
6² + 8² = 100
suy ra cạnh huyền = 10.
Ta nhớ lại công thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông đã học mà liên quan đến hình chiếu và cạnh góc vuông:
6² = 10x suy ra x = 3,6
8² = 10y suy ra y = 6,4
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH vuông góc BC (H thuộc BC). Cho biết AB : AC = 3 : 4 và BC = 15 cm.
a) Tính độ dài các đoạn thẳng BH và HC.
b) Kẻ phân giác AD (D thuộc BC). Tính độ dài đoạn thẳng HD.
Giải.
a)
Ta gọi AB = 3k, AC = 4k. Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ABC:
AB² + AC² = BC² suy ra 9k² + 16k² = 15²
suy ra k² = 15²/25= 9 vậy k = 3.
Từ đó suy ra AB = 9 cm, AC = 12 cm.
Ta áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC để tính BH, CH.
Ta có AB² = BH.BC suy ra BH = AB²/BC = 27/5 cm
AC² = HC.BC suy ra HC = AC²/BC = 48/5 cm
b)
Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:
(áp dụng dãy tỉ lệ thức bằng nhau)
suy ra BD = AB.5/7 = 45/7 cm.
HD = BD – BH = 45/7 – 27/5 = 36/35 cm
Bài 5:
Tính x, y trong các trường hợp sau
Giải:
a, Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác vuông ABC có:
BC^2= AB^2+ AC^2
BC^2= 5^2+ 7^2
BC^2= 74
Suy ra BC = √74
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông ABC: AB^2 = BD.BC
=> BD = AB^2/BC => x = 25/√74
DC = BC – BD = √74 – 25/√74 = 49/√74
Vậy x = 25/√74 và y = 49/√74
b) Ta có: BC= BD + DC = 2 + 6 = 8
Áp dụng hệ thức lượng ta có:
AB^2= BD.BC = 2.8 = 16. Suy ra AB = 4 hay x = 4.
AC^2= DC.BC = 6.8 = 48. Suy ra AC = √48 hay y = √48
Bài 6:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính BC, AC, AH biết AB = 15cm, HC = 16cm.
Giải:
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có:
AC^2 = CH.BC = 16.BC
AB^2 + AC^2 = BC^2
⇔ 15^2 + 16.BC = BC^2
⇔ BC^2 – 16.BC – 225 = 0
⇔ BC^2 – 25BC + 9BC – 225 = 0
⇔ BC(BC – 25) + 9(BC – 25) = 0
⇔ (BC – 25)(BC + 9) = 0
⇔ BC = 25 hoặc BC = -9(loại)
=> AC^2 = 16.BC = 16.25 = 400
=> AC = 20
+ Xét tam giác vuông ABC có: AH.BC = AB.AC (hệ thức lượng)
Vậy BC=25(cm); AC=20(cm); AH=12(cm)
Bài tập trắc nghiệm có đáp án
Bài 1: Cho tam giác ABC có AH là đường cao xuất phát từ A, hệ thức nào dưới đây chứng tỏ tam giác ABC vuông tại A
A. BC^2 = AB^2 + AC^2
B. AH^2 = HB.HC
C. AB^2 = BH.BC
D. A, B, C đều đúng.
Bài 2: Cho tam giác ABC có đường cao xuất phát từ A. Nếu ∠BAC = 90 độ thì hệ thức nào dưới đây đúng?
A. BC^2 = AB^2+AC^2
B. AH^2 = HB.HC
C. AB^2 = BH.BC
D. A, B, C đều đúng.
Bài 3: Cho tam giác ABC có và AH là đường cao xuất phát từ A. Câu nào sau đây là đúng?
A. 1/AH2 = 1/AB2 + 1/ AC2
B. A và B đều đúng
C. AH2 = HB. HC
D. Chỉ có A đúng
Bài 4: Tam giác ABC vuông có đường cao AH( H thuộc cạnh BC). Hình chiếu của H trên AB là D, trên AC là E. Câu nào sau đây sai:
A. AH = DE
B. 1/DE2 = 1/AB2 + 1/AC2
C. AB.AD = AC.AE
D. A,B,C đều đúng
Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính BC=10cm. Cạnh AB=5cm, thì độ dài đường cao AH là:
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH xuất phát từ A và AB=3; AC=4. Tính độ dài đoạn AH
A. 2,5 cm B. 3cm C. 2,4cm D. 2cm
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB=9cm, AC=12cm. Độ dài đường cao AH là:
A. 7,2 cm B. 5cm C. 6,4 cm D. 5,4cm
Bài 8: Cho tam giac ABC vuông tại A có AB=2cm, AC=4cm. Độ dài đường cao AH là:
Bài 9: Tam giác ABC vuông tại A, có AB=2cm, AC=3cm. Khi đó độ dài đường cao AH bằng:
Bài 10: Hình thang ABCD vuông góc ở A, D. Đường chéo BD vuông góc với cạnh bên BC biết AD=12cm, BC=20cm. Độ dài cạnh AB là:
A. 256/13cm B. 9cm hay 16cm
C. 16cm D. Một kết quả khác
Bài 11: Cho tam giác DEF vuông tại D, có DE=3cm, DF=4cm. Khi đó độ dài cạnh huyền bằng:
A. 5cm B. 7cm C. 6cm D. 10cm
Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB=5cm, BC=13cm. Khi đó độ dài đoạn BH bằng:
A. 25/13
B. 12/13
C. 5/13
D. 144/13
Bài 13: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB=3cm, AC=4cm. Khi đó độ dài đoạn BH bằng:
A. 16/
B. 5/9
C. 5/16
D. 9/5
Đáp án
Bài 1: Chọn đáp án: D
Bài 2: Chọn đáp án: D
Bài 3: Chọn đáp án: C vì ∠B + ∠C = 90 độ suy ra tam giác ABC vuông tại A.
Bài 4: Chọn đáp án: D vì:
+ Đáp án A đúng vì AEHD là hình chữ nhật(vì có 3 góc vuông) nên 2 đường chéo AH và DE bằng nhau.
+ Xét tam giác ABC có :
1/AH2 = 1/AB2 + 1/AC2
Vì AH = DE nên đáp án B đúng
Từ đó suy ra chọn đáp án D
Bài 5: Vì tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính BC = 10cm nên tam giác ABC vuông tại A. Áp dụng định lý Py-ta-go ta có: AC^2 = BC^2 – AB^2.
Thay số vào ta tính được: AC= √75cm = 5√3 cm.
Áp dụng hệ thức lượng vào t tam giác vuông ABC có: AH.BC = AB.AC.
Thay số vào ta tính được: AH = 5√3/2 cm
Vậy chọn đáp án: D
Bài 6: Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác vuông ABC có:
BC^2=AB^2+AC^2
Thay số ta tính được BC=5.
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC có: AH.BC = AB.AC
Vậy chọn đáp án:C
Bài 7: Chọn đáp án: A
Bài 8: Chọn đáp án: C
Bài 9: Chọn đáp án: A
Bài 10: Gọi độ dài cạnh AB = 3x thì độ dài cạnh AC = 4x. Áp dụng định lý py-ta-go ta được:
⇔ 100 = 9x^2 + 16^2
⇔ x^2 = 100 : 25
⇔ x = 2
Từ đó suy ra AB = 6cm
Bài 11: Kẻ BI ⊥ DC. Khi đó ABID là hình chữ nhật nên AD = BI; AB = DI = 12cm.
Xét tam giác vuông BIC có: IC^2=BC^2-BI^2
Suy ra IC = 16cm.
Xét tam giác vuông BDC .Theo hệ thức lượng ta có: BI^2 = DI.IC
Thay số:16^2 = DI . 13.Tứ đó suy ra DI = 256/13 cm.
Vậy chọn đáp án A
Bài 12: Chọn đáp án: A
Bài 13: Áp dụng hệ thức lượng: AB^2 = BH.BC
Thay số ta được: 5^2=BH.13.Suy ra BH = 25/13
Vậy chọn đáp án: A
Bài 14: Chọn đáp án: D
Với lý thuyết và các bài tập mà DapAnChuan.com giới thiệu ở trên thì hy vọng các học sinh có thể trau dồi kiến thức về các hệ thức lượng trong tam giác vuông nhiều hơn và làm bài tập thật tốt nhé!