Dạng lượng giác của số phức, giải bài tập số phức lượng giác

Dạng lượng giác của số phức là một trong những dạng toán khiến các bạn học sinh quan tâm và lo lắng khi gặp những dạng bài tập như thế này. Vì thế với bài viết ngày hôm nay, Dapanchuan.com sẽ giúp bạn giải đáp vấn đè này một cách chi tiết nhất để các bạn có thể cũng cố lại kiến thứ nền về lượng giác của số phức và cách giải bài tập số phức lượng giác nhé

Vậy số phức là gì?

Số phức là số có thể viết dưới dạng $a+b\imath$ , trong đó a và b là các số thực (số nguyên), a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo. Và $\imath$ được xem là đơn vị ảo, qui ước $\imath ^{2}=-1$ hay $\imath ={\sqrt {-1}}$ (Ví dụ : $-3,5+2\imath$ là một số phức)

Tập hợp số phức được kí hiệu là C. Nếu z là số thực thì phần ảo b = 0, ngược lại, nếu z là số thuần ảo thì phần thực của z là a = 0.

Mỗi số phức z đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng: $z=a+bi$ . Trong đó a, b là các số thực. Dạng biểu diễn này được gọi là dạng đại số của số phức z.

Dạng lượng giác của số phức

Số phức $z=a+bi$ có thể viết dưới dạng:

$z=a+bi={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\left({\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\cdot i\right)$

Khi đặt : $r=|z|,\varphi =\arg(z)$ ,

Ta có: $z=r(cos\varphi +i\,sin\varphi )$

Cách biểu diễn này được gọi là dạng lượng giác của số phức $z$ .

Phép toán trên các số phức viết dưới dạng lượng giác

Phép nhân và phép chia các số phức dưới dạng lượng giác

Cho hai số phức dưới dạng lượng giác

$z=r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)$

$z'=r'\left(\cos \varphi '+i\sin \varphi '\right)$

Khi đó:

$z\cdot z'=rr'\left(\cos \left(\varphi +\varphi '\right)+i\sin \left(\varphi +\varphi '\right)\right)$

${\frac {z}{z'}}={\frac {r}{r'}}\left[\cos(\varphi -{\varphi }'\right)+i\sin \left(\varphi -{\varphi }'\right)$

Lũy thừa tự nhiên của số phức dưới dạng lượng giác (công thức Moirve).

$z^{n}=r^{n}{\Bigg (}\cos n\,\varphi +i\sin n\,\varphi {\Bigg )}$

Khai căn số phức dưới dạng lượng giác.

Mọi số phức z khác 0 đều có đúng n căn bậc n, là các số dạng

${\omega }_{k}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos {\psi }_{k}+i\sin {\psi }_{k}\right)$

trong đó ${\psi }_{k}={\frac {\varphi +k\,2\,\pi }{n}}$ , $k=0,1,...n-1$

Cách giải bài tập số phức lượng giác

Hiểu được trăn trở của các bạn học sinh trong việc giải các bài tập liên quan đến số phức lượng giác, thì hôm nay Dapanchuan.com xin gởi đến bạn một số những thông tin hữu ích trong việc giải các bài tập này. Để từ đó các bạn có thể tự mình tìm hiểu và giải được những dạng bài tập như thế này nhé.

Dạng 1: Viết số phức dưới dạng lượng giác

Khi gặp dạng bài này thì đặt trưng của dạng bài này sẽ thường có những thông tin sau: Cho số phức z ≠ 0 . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z.

Hướng giải bài tập

* Cho số phức z = a+ bi, (a,b ∈ R) Để viết số phức z dưới dạng lượng giác ta làm như sau:

Tìm một acgumen của số phức z là φ

Tính môđun của số phức z: |z| = r = .

Khi đó, ta có z = r.(cosφ + i.sinφ)

Ví dụ:

Đề bài 1 : Viết số phức z = 6 + 6i dưới dạng lượng giác?

A. z = 6√2(cos + i.sin )

B. z = 6(cos + i.sin )

C. z = 3√2(cos + i.sin )

D. z = 3√2(cos + i.sin )

Bài giải

Ta có: |z| = r = = 6√2

Chọn φ là số thực thoả mãn
⇒ φ = .

Do đó, dạng lượng giác của số phức z là: z = 6√2(cos + i.sin )

===> Đáp án đúng của bài này là A.

Đề bài 2 : Viết số phức z = 100i dưới dạng lượng giác?

A. z = 100.√2(cos + i.sin )

B. z = 100. (cos + i.sin )

C. z = 100.√2(cos + i.sin )

D. z = 100(cos + i.sin )

Bài giải

Ta có: |z| = = 100

Gọi φ là một acgumen của z thì φ thỏa mãn: cosφ = 0; sinφ = 1 ⇒ φ =

Do đó, dạng lượng giác của số phức z là : z = 100(cos + i.sin )

===> Đáp án đúng của bài này là D.

Dạng 2: Nhân, chia số phức dạng lượng giác

Hướng giải bài tập

Nếu z = r.(cosφ + i.sinφ) và

z’ = r’.(cosφ’ + i.sinφ’); (r ≥ 0; r’ ≤ 0)

Thì

z.z’ = r.r'[cos(φ + φ’) + i.sin(φ + φ’)]

= .[cos(φ’ – φ) + i.sin(φ’ – φ)]; (r > 0)

Ví dụ:

Đề bài :

A. 2[cos- + i.sin- ]

B. 2√2[cos + i.sin ]

C. √2[cos- + i.sin- ]

D. [cos + i.sin ]

Bài giải

Ta có: 2 + 2i = 2√2[cos + i.sin ]

Và 1 + √3i = 2.[cos + i.sin ]

Do đó: z =
=
= √2[cos- + i.sin- ]

===> Đáp án đúng của bài này là C.

Dạng 3: Công thức Moa-vro

Hướng giải bài tập

* Công thức Moa- vro

Cho số nguyên dương n ta có;

[r(cosφ + i.sinφ)]ⁿ = rⁿ(cos(nφ) + i.sin(nφ))

Khi r = 1 ta có: (cosφ + i.sinφ)ⁿ = cos(nφ) + i.sin(nφ)

Ví dụ:

Đề bài : Viết số phức sau dưới dạng lượng giác: z = (√2 + √2i)¹⁰

A. 2⁵(cos + i.sin )

B. 2¹⁰(cos + i.sin ) .

C. 2⁵(cos(- ) + i.sin(- ) )

D. 2¹⁰(cos + i.sin )

Bài giải:

Ta có: √2 + √2i = 2.(cos + i.sin )

Do đó,

z = (√2 + √2i)¹⁰ = [2.(cos + i.sin )]¹⁰

= 2¹⁰(cos + i.sin )

= 2¹⁰.(cos + i.sin )

===> Đáp án đúng của bài này là D.

Hi vọng với một vài kiến thức bên trên đã phần nào giúp bạn hiểu được Dạng lượng giác của số phức, giải bài tập số phức lượng giác rồi nhé. Các bạn cũng nên tham khảo ý kiên của giáo viên Toán của bạn để có những kết quả tốt nhất

Viết một bình luận Hủy