Hướng dẫn chia 2 số phức, số phức chia số phức, nghịch đảo của số phức

Hướng dẫn chia 2 số phức, số phức chia số phức, nghịch đảo của số phức là những câu hỏi được các bạn học sinh lớp 12 rất quan tâm. Vì những bài tập liên quan đến số phức trong nhiều năm đã có trong đề thi tốt nghiệp phổ thông. Thế nên với bài viết lần này, chúng tôi sẽ giúp bạn giải đáp những thức mắc trên nhé.

Vậy số phức là gì?

Số phức là số có thể viết dưới dạng $a+b\imath$ , trong đó a và b là các số thực (số nguyên), a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo. Và $\imath$ được xem là đơn vị ảo, qui ước $\imath ^{2}=-1$ hay $\imath ={\sqrt {-1}}$ (Ví dụ : $-3,5+2\imath$ là một số phức)

Tập hợp số phức được kí hiệu là C. Nếu z là số thực thì phần ảo b = 0, ngược lại, nếu z là số thuần ảo thì phần thực của z là a = 0.

Mỗi số phức z đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng: $z=a+bi$ . Trong đó a, b là các số thực. Dạng biểu diễn này được gọi là dạng đại số của số phức z.

Biểu diễn hình học của số phức:

Cho số phức z = a + bi (a,b nguyên). Xét trong mặt phẳng phức Oxy, z sẽ được biểu diễn bởi điểm M(a;b) hoặc bởi vector u = (a;b).

Chú ý ở mặt phẳng phức, trục Ox còn được gọi là trục thực, trục Oy gọi là trục ảo.

Hướng dẫn chia 2 số phức, số phức chia số phức

Cách chia 2 số phức là Nhân cả tử và mẫu với a – bi Để thực hiện phép chia hai sô’ phức ta thực hiện nhân cả tử (Số bị chia) và mẫu (Số chia) với số phức liên hợp của mẫu (Số chia).

Hoặc cụ thể hơn là

Cho hai số phức : $a+b\imath$ và c + di ≠ 0

Khi đó:

${\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}i$

(Nhân cả tử và mẫu với a−bia−bi (số phức liên hợp của mẫu). Tuy nhiên, thực tế tính toán chúng ta nên nhớ nguyên tắc tính chứ không nên nhớ công thức.

Bài tập mẫu về chia 2 số phức:

Bài giải

Nghịch đảo của số phức là gì

Có thể nói, số phức dạng nghịch đảo, hay nghịch đảo của số phức z (kí hiệu là z−1 là số phức có dạng sao cho tích của số phức nghịch đảo với số phức z là bằng 1).

Nghịch đảo phép nhân của một số phức z = a + bi là một số phức. Ta có thể tìm giá trị nghịch đảo của 1/z bằng cách nhân cả tử và mẫu bằng số phức liên hợp ${\bar {z}}=a-bi$ và dùng tính chất $z{\bar {z}}=\|z\|^{2}$ (bình phương giá trị tuyệt đối của z , là số thực a² + b²)

${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i.$

Quan sát rằng ${\frac {\bar {z}}{\|z\|}}$

cho ta số phức liên hợp với giá trị đại lượng rút về $1$ , do đó chia lại bằng $\|z\|$ đảm bảo rằng đại lượng bây giờ bằng nghịch đảo của đại lượng gốc, do đó

${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}$

Mặt khác, nếu ||z||=1 (z có đại lượng đơn vị, thì $1/z={\bar {z}}$ . Theo đó, hai đơn vị ảo, ±i, có nghịch đảo phép cộng bằng nghịch đảo phép nhân, và là hai số phức duy nhất có tính chất này. Lấy ví dụ, nghịch đảo phép cộng và nghich đảo phép nhân của i là −(i) = −i và 1/i = −i, tương ứng.

Đối với số phức trong dạng lượng giác z = r(cos φ + i sin φ), Để tìm giá trị nghịch đảo ta chỉ cần thay đại lượng bằng nghịch đảo của đại lượng và đổi dấu giá trị góc

${\frac {1}{z}}={\frac {1}{r}}\left(\cos(-\varphi )+i\sin(-\varphi )\right).$

Tóm gọn một cách dễ hiểu hơn là:

Bài tập mẫu 1 về số phức nghịch đảo

ĐỀ BÀI: Cho số phức z=1+i. Số phức nghịch đảo của z là gì?

BÀI GIẢI

Bài tập mẫu 2 về số phức nghịch đảo

ĐỀ BÀI: Tìm số phức nghịch đảo của số phức z = 1 + 3i

BÀI GIẢI

Hi vọng với bài viết lần này đac giúp các bạn hiểu hơn về cách chia 2 số phức, số phức chia số phức, nghịch đảo của số phức rồi nhé. Hi vọng các bạn có thêm thật nhiểu những kiến thức về số phức.

Viết một bình luận Hủy