Công thức cấp số cộng, cấp số nhân: ví dụ & bài tập minh họa

Công thức cấp số cộng, cấp số nhân: ví dụ & bài tập minh họa là một trong những câu hỏi mà các bạn học sinh yêu cầu Dapanchuan.com giudp thống kê lại, Vậy thì ngày hôm nay, dapanchuan.com sẽ giúp các bạn học sinh thống kê lại một cách chi tiết nhất về Công thức cấp số cộng, cấp số nhân nhé. Trước tiên tìm hiểu về các công thức thì chúng ta hãy cùng điểm qua những khái niệm cơ bản về cấp số cộng, cấp số nhân nhé.

Cấp số cộng là gì?

Cấp số cộng là 1 dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) thỏa mãn điều kiện: Kể từ số hạng thứ 2 trở đi đều bằng số hạng đứng trước nó cộng với 1 số không đổi. Số không đổi đó gọi là công sai.

Ví dụ về cấp số cộng

Dãy số 2; 4; 6; 8 là một cấp số cộng.

Vì 4 = 2 + 2; 6 = 4 + 2; 8 = 6 + 2 nên đây là cấp số cộng với công sai d=2.

Trường hợp đặc biệt của cấp số cộng

Nếu công sai bằng 0 thì cấp số cộng là 1 dãy hằng.

Chẳng hạn 1; 1; 1; … là cấp số cộng với công sai bằng 0.

Cấp số nhân là gì?

Cấp số nhân là 1 dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) thỏa mãn điều kiện: Kể từ số hạng thứ 2 trở đi đều bằng số hạng đứng trước nó nhân với 1 số không đổi. Số không đổi đó gọi là công bội.

Ví dụ về cấp số nhân

Dãy số 2; 4; 8;16 là một cấp số nhân.

Vì 4 = 2 x 2; 8= 4 x 2; 16= 8 x 2 nên đây là cấp số nhân với công bội q=2.

Một số trường hợp đặc biệt của cấp số nhân

Nếu công bội bằng 0 thì từ số hạng thứ 2 trở đi của cấp số nhân đều bằng 0.

Nếu công bội bằng 1 thì cấp số nhân là dãy hằng. Khi đó cấp số nhân đồng thời là cấp số cộng với công sai bằng 0.

Nếu cấp số nhân có số hạng đầu bằng 0 thì cấp số nhân là dãy hằng 0.

Nếu cấp số nhân vô hạn số hạng có công bội q thỏa mãn -1<q<1 thì cấp số nhân đó được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Công thức cấp số cộng

Các công thức cấp số cộng là các công thức liên quan tới các giá trị đặc trưng của 2 loại dãy số đó. Các giá trị đặc trưng bao gồm: Số hạng đầu; Số hạng thứ n; Công bội của cấp số nhân; Công sai của cấp số cộng; Tổng của n số dạng đầu; Số hạng đứng giữa hai số hạng khác. Sau đây chúng ta cùng tìm hiểu chi tiết từng công thức nhé.

Công thức 1: Trước tiên chúng ta nên nhớ công thức tổng quát này:

Công thức này tổng quát cho công thức

Cũng từ đó ta suy ra được công thức: Từ số hạng thứ 2 trở đi của cấp số cộng đều bằng trung bình cộng của 2 số hạng liền kề với nó.

Công thức 2: Với cấp số cộng thì chúng ta có tới 2 công thức để tính tổng của n số hạng đầu. Nhưng ta chỉ nên nhớ công thức:

Sau đó thay công thức 1 vào ta sẽ có công thức:

Bài tập minh họa công thức cấp số cộng

Bài tập về Công thức 1: Tìm số hạng thứ 2 của cấp số cộng biết số hạng thứ 7 là 100 và công sai là 2.

Công thức 1: Trước tiên chúng ta nên nhớ công thức tổng quát này:

Công thức này tổng quát cho công thức

Cũng từ đó ta suy ra được công thức: Từ số hạng thứ 2 trở đi của cấp số cộng đều bằng trung bình cộng của 2 số hạng liền kề với nó.

Lời giải:

Áp dụng công thức trên ta có số hạng thứ 2 của cấp số cộng là:

Bài tập về Công thức 2: 

Cho cấp số cộng có số hạng đầu bằng 3 và công sai bằng 2. Tính tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng.

Công thức 2: Với cấp số cộng thì chúng ta có tới 2 công thức để tính tổng của n số hạng đầu. Nhưng ta chỉ nên nhớ công thức:

Sau đó thay công thức 1 vào ta sẽ có công thức:

Lời giải:

Áp dụng công thức ta có:

cấp số cộng và cấp số nhân

Công thức cấp số nhân

Các cấp số nhân đặc biệt có công bội bằng 1 thì đồng thời cũng là cấp số cộng. Vì vậy với các dãy số này ta dùng công thức của cấp số cộng nhé.Còn với cấp số nhân có công bội bằng 0 thì các số hạng là: u(1);0 ;0 … Nói chung không có “cóc khô” gì để mà bàn thêm :)).

Vì vậy ở đây chúng ta xét các cấp số nhân mà công bội và số hạng đầu khác 0. Điều đó cũng có nghĩa tất cả các số hạng của cấp số nhân khác 0.

Công thức 1: 

cấp số cộng cấp số nhân

Công thức 2: 

Tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân được tính theo công thức:

Bài tập minh họa công thức cấp số nhân

Bài tập về Công thức 1: 

cấp số cộng cấp số nhân

Tính số hạng thứ 5 của cấp số nhân biết số hạng thứ 8 của cấp số nhân bằng 32 và công bội bằng 2.

Lời giải:

Áp dụng công thức ta có:

Từ công thức trên ta dễ dàng suy ra được các công thức:

Bài tập về Công thức 2: 

Tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân được tính theo công thức:

Ví dụ:

Cho cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2. Tính tổng 11 số hạng đầu của cấp số nhân.

Lời giải:

Áp dụng công thức ta có:

Hi vọng với Công thức cấp số cộng, cấp số nhân và một số bài tập minh họa bên trên đã giúp các bạn học sinh thống kê lại những kiến thức về toán học nhé

Viết một bình luận