Cách tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là băn khoăn của nhiều bạn học sinh THPT vì đây là một dạng toán khá khó tiếp cận. Hơn nữa đây cũng là dạng bài toán rất hay gặp trong các đề thi. Học sinh cần nắm chắc định nghĩa và cách tìm tiệm cận đứng thì mới có thể giải quyết mọi bài toán liên quan. Sau đây Dapanchuan.com sẽ hướng dẫn các bạn cách tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số chuẩn nhất.
Tiệm cận đứng là gì?
Tiệm cận đứng (tiếng Anh: vertical asymptote) là một đường thẳng dọc mà giới hạn của một hàm số tiến tới vô cùng hoặc âm vô cùng khi độ lớn của biến số độc lập tiến gần tới một giá trị xác định.
Nói cách khác, nếu giới hạn của hàm số khi tiến tới một giá trị xác định của biến số độc lập (thường là điểm trên trục hoành) không tồn tại, hoặc bằng vô cùng dương hoặc âm, thì ta nói hàm số đó có tiệm cận đứng tại điểm đó.
Ví dụ, hàm số f(x) = 1/(x-1) có tiệm cận đứng tại x = 1, vì khi x tiến tới 1 từ hai phía (trái hoặc phải), giới hạn của hàm số tiến tới vô cùng dương hoặc âm vô cùng.
Cách tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số chuẩn nhất
Để tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số chuẩn y = f(x), ta cần làm theo các bước sau:
– Kiểm tra giá trị xác định của hàm số: đảm bảo rằng hàm số có thể được định nghĩa trên toàn miền xác định của nó.
– Xác định các điểm không xác định: xác định các điểm mà hàm số không thể được tính toán vì chia cho 0, bằng cách giải phương trình f(x) = 0.
– Xác định tiệm cận ngang: nếu giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng hoặc âm vô cùng bằng một giá trị cố định, thì hàm số có tiệm cận ngang tại giá trị đó.
– Tìm tiệm cận đứng:
- Nếu hàm số có giá trị vô hướng dương hoặc âm vô hướng tại một điểm c, thì đường thẳng x = c là tiệm cận đứng của đồ thị.
- Nếu hàm số có giá trị vô hướng dương hoặc âm vô hướng khi x tiến tới vô cùng dương hoặc âm, thì đường thẳng x = ±∞ là tiệm cận đứng của đồ thị.
Lưu ý rằng trong một số trường hợp, tiệm cận đứng của đồ thị có thể không tồn tại hoặc không dễ dàng tìm được. Việc tìm tiệm cận đứng cũng thường liên quan đến việc phân tích đồ thị hàm số và xác định các tính chất của nó.
Ví dụ về cách tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: y = x2−1 / x2−3x+2:
Để tìm tiệm cận đứng của hàm số này, ta sẽ phân tích hàm số thành tích của hai hàm số nhỏ hơn:
y = (x^2 – 1) / (x^2 – 3x + 2) = (x + 1)(x – 1) / (x – 2)(x – 1)
Nhìn vào biểu thức này, ta thấy rằng khi x tiến gần đến 2, mẫu số của hàm số sẽ tiến gần đến 0, do đó ta phải xét trường hợp này. Khi đó, ta có:
y ≈ (x + 1) / (x – 2)
Khi x tiến đến 2 từ phía bên trái, ta có:
x → 2- ⇒ y → -∞
Do đó, tiệm cận đứng của hàm số là đường thẳng x = 2.
Công thức tính tiệm cận đứng của đồ thị hàm số phân tuyến tính
Tiệm cận đứng của đồ thị phân tuyến tính y = (ax + b) / (cx+d) với (ad – bc khác 0 và c khác 0) sẽ được tính nhanh với công thức. Như vậy hàm số phân tuyến tính sẽ có 1 tiệm cận đứng duy nhất là x = -d/c
Ví dụ: Cho một hàm số y = f (x) = (x – 2) / (x + 3). Chúng ta có thể tìm tiệm cận đứng theo công thức x = -d/c = – 3
Cách tìm tiệm cận đứng bằng casino
Sau đây là cách bấm máy tính tìm cận đứng của hàm số dạng f(x) / g(x) mà mọi người có thể áp dụng nhanh:
– Bước 1: Sử dụng tính năng SOLVE để giải nghiệm hàm số g(x) và lưu kết quả vào biến x0.
Nếu mẫu số là hàm bậc 2 hoặc bậc 3, ta có thể sử dụng tính năng Equation (EQN) để giải phương trình và tìm nghiệm.
– Bước 2: Sử dụng tính năng CALC để kiểm tra những nghiệm tìm được có phải là nghiệm của tử số hay không.
Để làm điều này, ta nhập biểu thức f(x)/g(x) vào tính năng CALC và thay thế x bằng các giá trị nghiệm tìm được ở bước trước. Nếu giá trị tính được gần bằng vô cùng hoặc âm vô cùng, thì giá trị tương ứng của x là tiệm cận đứng của hàm số.
– Bước 3: Loại bỏ những giá trị nghiệm của mẫu số mà không phải là nghiệm của tử số.
Những giá trị nghiệm của mẫu số mà không phải là nghiệm của tử số tương ứng với các đường thẳng x = x0, với x0 là giá trị của nghiệm mẫu số. Những đường thẳng này chính là tiệm cận đứng của hàm số f(x)/g(x).
Cách tìm tiệm cận đứng trên bảng biến thiên
Để tìm tiệm cận đứng dựa trên bảng biến thiên thì người giải toán phải nắm chắc định nghĩa tiệm cận đứng để phân tích:
– Bước 1: Căn cứ vào bảng biến thiên và tìm tập xác định của hàm số đó.
– Bước 2: Quán sát kỹ bảng biến thiên, tiệm cận đứng chính là những điểm mà hàm số không thể xác định.
– Bước 3: Đưa ra kết luận đâu là tiệm cận đứng.
Các dạng bài tập tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Hiện nay có một số dạng bài tập tìm đường tiệm cận đứng như sau:
- Đường cong là hàm số bậc một có dạng f(x) = ax + b với a khác 0. Đường tiệm cận đứng là đường x = -b/a.
- Đường cong là hàm số bậc hai có dạng f(x) = ax^2 + bx + c với a khác 0. Đường tiệm cận đứng là đường x = -b/2a.
- Đường cong là hàm số bậc ba có dạng f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d với a khác 0. Đường tiệm cận đứng là đường x = không xác định.
- Đường cong là hàm số lượng giác có dạng f(x) = A sin(x) + B cos(x) với A, B khác 0. Đường tiệm cận đứng là đường x = không xác định.
- Đường cong là hàm số mũ có dạng f(x) = a^x với a > 1 hoặc 0 < a < 1. Đường tiệm cận đứng là đường x = không xác định.
Lưu ý khi tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Trong cách tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì các bạn học sinh cần lưu ý những điều sau:
- Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng mà đồ thị hàm số sẽ tiến đến khi giá trị độ lớn của biến độc lập (thường là x hoặc t) tiến đến vô cùng.
- Đường tiệm cận đứng có thể có hoặc không tại một số giá trị của biến độc lập xác định. Nếu đường tiệm cận đứng không có, ta nói rằng hàm số không có đường tiệm cận đứng.
- Để tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, ta cần xét giới hạn của hàm số khi biến độc lập tiến đến vô cùng. Nếu giới hạn này là một giá trị cụ thể, thì đường tiệm cận đứng là đường thẳng tương ứng với giá trị đó. Nếu giới hạn này không xác định hoặc bằng vô cùng, thì đường tiệm cận đứng là đường thẳng không xác định.
- Để tính giới hạn của hàm số, ta có thể sử dụng các công thức và quy tắc liên quan đến giới hạn của các hàm số cơ bản như hàm số mũ, lượng giác, logarithm, hàm số bậc nhất, bậc hai, bậc ba, hàm số tỉ lệ thuận và nghịch tỉ lệ.
- Khi tính giới hạn của hàm số, ta cần chú ý đến các trường hợp đặc biệt như phân số có thừa số chung, hàm số lượng giác trong biểu thức, các hàm số khác với quy luật cơ bản, v.v. để tránh sai sót trong quá trình tính toán.
Bài viết trên đã giúp các bạn học sinh gỡ rối về cách tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số chuẩn nhất hiện nay. Hy vọng kiến thức trên có thể giúp các bạn giải nhanh các bài tập liên quan đến dạng tìm tiệm cận đứng này.