Các dạng toán vi-ét thi vào lớp 10 có đáp án chuẩn nhất

Các dạng toán Vi-ét thi vào lớp 10 đã trở thành một phần quen thuộc và quan trọng đối với các học sinh chuyển cấp. Vậy, các dạng toán Vi-ét là gì? Tại sao chúng lại được coi là một phần không thể thiếu trong kỳ thi quan trọng này? Chúng ta hãy cùng tìm hiểu sâu hơn về các dạng toán Vi-ét thi vào lớp 10 có đáp án và vai trò quan trọng của chúng trong hành trình học tập của các em học sinh qua nội dung bài chia sẻ của DapAnChuan.com

Tìm hiểu Vi-ét là gì?

Hệ thức Vi-ét, còn được gọi là hệ thức Vi-ét, là một phương pháp toán học để giải phương trình đa thức.

Hệ thức Vi-êt cung cấp một cách để giải các phương trình đa thức bằng cách biến đổi chúng thành các phương trình đơn giản hơn. Ý tưởng cơ bản của phương pháp này là xác định các nghiệm của phương trình bằng cách lập ra một chuỗi các phương trình đơn giản hơn. Sau đó, bạn có thể giải các phương trình đơn giản này dễ dàng hơn và sử dụng kết quả để xác định nghiệm của phương trình ban đầu.

Hệ thức Vi-ét thuận

Cho một phương trình bậc hai một ẩn có dạng a x^2 + b x + c = 0, trong đó a khác 0, và phương trình này có hai nghiệm x_1 và x_2. Khi đó, chúng ta có thể sử dụng các hệ thức sau đây, được gọi là hệ thức Vi-ét

Hệ thức này liên quan đến tổng và tích của các nghiệm của phương trình bậc hai.

Từ hệ thức Viète, chúng ta có thể suy ra một số kết luận quan trọng:

Nếu a + b + c = 0, thì phương trình có hai nghiệm cụ thể:

• Nghiệm thứ nhất: x_1 = 1
• Nghiệm thứ hai: x_2 = c/a

Nếu a – b + c = 0, thì phương trình có nghiệm cụ thể:

• Nghiệm thứ nhất: x_1 = -1
• Nghiệm thứ hai: x_2 = -c/a

Hệ quả của những điều này là, dựa vào hệ thức Viète, chúng ta có thể tính toán trực tiếp giá trị của các nghiệm của phương trình bậc hai trong những trường hợp đặc biệt khi các tổng và hiệu của hệ số a, b, và c có giá trị nhất định.

Định lý ảo

Giả sử hai số thực  thỏa mãn hệ thức:

thì  là hai nghiệm của phương trình bậc hai 

Vai trò của Vi-ét trong toán học

Hệ thức Vi-ét, còn được gọi là định lý Vi-ét, là một phần quan trọng của lĩnh vực đại số và đã đóng một vai trò quan trọng trong việc giải các phương trình đa thức. Đây là một trong những khái niệm quan trọng không chỉ trong toán học mà còn trong nhiều lĩnh vực khoa học khác. Hãy đi sâu vào hiểu nội dung này.

Hệ thức Vi-ét không chỉ giúp chúng ta tìm ra các nghiệm của phương trình đa thức mà còn cho phép chúng ta tính toán các hệ số của đa thức khi biết các nghiệm. Điều này làm cho nó trở thành một công cụ trong việc giải các bài toán đa thức phức tạp.

Hệ thức Vi-êt cũng là một phần quan trọng của giáo trình toán học ở nhiều nước. Nó được dạy trong các khóa học đại số và được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, bao gồm cả đại số tuyến tính, lý thuyết đồ thị, và trong các bài toán ứng dụng như điện tử, khoa học máy tính và kỹ thuật.

Các dạng toán vi-ét thi vào lớp 10 có đáp án chuẩn nhất

Sau đây là thông tin chi tiết về các dạng toán Vi-ét thi vào lớp 10 có đáp án, mọi người cùng tham khảo

Dạng nhẫm phương trình

Để nhận biết và tính toán nghiệm của phương trình bậc hai ax2+bx+c=0 với a khác không, ta có thể thực hiện các bước sau đây:

Phương pháp 

          – Để nhẩm nghiệm của phương trình  ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) ta làm như sau:

                    + B1: Tính ∆ = b² – 4ac. Nếu ∆ < 0 thì không tồn tại nghiệm của phương trình. Nếu  ∆ ≥ 0 thì phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ 

+ B2: Trong trường hợp ∆ ≥ 0 sử dụng Vi-et ta nhẩm nghiệm như sau:

                    – Nếu hệ số a = 1 thì phương trình có dạng x² + bx + c = 0(*) ta phân tích hệ số c thành tích của 2 số trước rồi kết hợp với b để tìm ra 2 số thỏa mãn tổng bằng –b và tích bằng c. Hai số tìm được là nghiệm của phương trình x² + bx + c = 0. Tóm lại trong trường hợp này ta có  kết quả sau

               – Nếu hệ số a ≠ 1 ta chia cả hai vế của phương trình cho a để đưa phương trình về dạng (*) rồi nhẩm nghiệm

                    – Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm

                    – Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm

Ví dụ : Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau

a. x² – 11x + 30 = 0

b. x² – 12x + 27 = 0

c. 2x² + 3x + 1 = 0

d. 3x² – 2x – 1 = 0

Giải

a. Phương trình đã cho có ∆ = 11² – 4.30 = 121 – 120 = 1 > 0 nên có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂

Theo Vi-et ta có   

           Ta thấy 30 = 15.2 = (-15).(-2) = 10.3 = (-10).(-3) = 6.5 = (-6).(-5) nhưng ta      cần chọn hai số có tổng bằng 11 nên hai số thỏa mãn (*) là 6 và 5

Suy ra các nghiệm của phương trình là : x₁ = 5, x₂ = 6  

b. Phương trình đã cho có ∆ = 12² – 4.27 = 144 – 108 = 36 > 0 nên có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂

Theo Vi-et ta có

Ta thấy 27 = 9.3 = (-9).(-3) = 1.27 = (-1).(-27) nhưng ta cần chọn hai số có    tổng bằng 12 nên hai số thỏa mãn (*) là 9 và 3

Suy ra các nghiệm của phương trình là : x₁ = 3, x₂ = 9  

c. Phương trình đã cho có: a – b + c = 2 – 3 + 1 = 0

Suy ra các nghiệm của phương trình là :

d. Phương trình đã cho có: a + b + c = 3 + (-2) + (-1) = 0

Suy ra các nghiệm của phương trình là :

Dạng tìm hai số khi biết tổng và tích

Phương pháp

– Bài toán: Tìm hai số u và v biết: u + v = S, u.v = P 

– Cách giải: 

+ Kiểm tra điều kiện để tồn tại hai số u và v: Nếu S² < 4P thì không tồn tại hai số u và v, nếu S² ≥ 4P thì tồn tại hai số u và v

+ Trong trường hợp tồn tại, hai số cần tìm là nghiệm của phương trình                

                                            x² – Sx + P = 0 

Ví dụ: Tìm hai số biết

a. Tổng của chúng bằng 8, tích của chúng bằng 11

b. Tổng của chúng bằng 17, tích của chúng bằng 180

Giải

a.Vì S = 8, P = 11 thỏa mãn S² ≥ 4P nên tồn tại hai số cần tìm 

Hai số đó là nghiệm của phương trình  x² – 8x + 11 = 0

                      ∆ = (-8)² – 4.11 = 64 – 44 = 20 > 0 

Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt  

Vậy hai số cần tìm là: 

b.Với S = 17, P = 180 thì S² = 289 < 4P = 720 nên không tồn tại hai số thỏa mãn yêu cầu của đề bài

Dạng tính giá trị hoặc viết biểu thức liên hệ giữa các nghiệm

Định lý Vi-et: Nếu x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì

*) Sử dụng định lý Vi-et không cần giải phương trình ta vẫn có thể tính được tổng và tích các nghiệm hoặc các biểu thức có liên quan đến tổng và tích các nghiệm thông qua các bước sau:

                    + B1: Tính ∆ = b² – 4ac. Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm do đó  không tồn tại tổng và tích các nghiệm của phương trình. Nếu  ∆ ≥ 0 thì phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂, ta thực hiện bước 2 

                    + B2: Trong trường hợp ∆ ≥ 0 áp dụng Vi-et ta có

Dạng sử dụng hệ thức Vi-et để xác định tính chất các nghiệm 

Phương pháp: cho phương trình ax² + bx + c =0(a ≠ 0)

Điều kiện để phương trình

• Hai nghiệm cùng dấu ⇔∆ ≥ 0 và P > 0
• Hai nghiệm trái dấu khi a.c < 0
• Hai nghiệm dương (lớn hơn 0) ⇔∆ ≥ 0; S > 0 và P > 0
• Hai nghiệm âm (nhỏ hơn 0) ⇔∆ ≥ 0; S < 0 và P > 0
• Hai nghiệm đối nhau ⇔∆ ≥ 0 và S = 0
• Hai nghiệm nghịch đảo của nhau ⇔∆ ≥ 0 và P = 1
• Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn khi ac < 0 và S < 0
• Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn khi ac < 0 và S > 0

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho x₁ = px₂ (với p là một số thực)

          B1- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt .

          B2- Áp dụng định lý Vi – ét tìm: (1) và (2)

          B3- Kết hợp (1) và (3) giải hệ phương trình:

                    ⇒ x₁ và x₂

          B4- Thay x₁ và x₂ vào (2) ⇒ Tìm giá trị tham số.

So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số bất kỳ: 

B1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (∆ ≥ 0)

B2: Áp dụng Vi-ét tính x₁ + x₂ và x₁x₂  (*)

          +/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm > α

          Ta có

          Thay biểu thức Vi-ét vào hệ(*) để tìm m

          +/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm < α

          Ta có 

          Thay biểu thức Vi-ét vào hệ(*) để tìm m

+/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm: x₁ < α < x₂

Ta có (*) .Thay biểu thức Vi-ét vào (*) để tìm m

Các dạng toán Vi-ét thường gặp

Dạng về dấu các nghiệm trong phương trình bậc 2 

Phương pháp giải bài toán sử dụng việc xét dấu cũng có thể kết hợp hệ thức Vi-êt để giải quyết nhanh chóng và thuận tiện hơn. Hệ thức này giúp chúng ta tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu, hai nghiệm dương phân biệt, hai nghiệm âm phân biệt hoặc hai nghiệm trái dấu. Dưới đây là điều kiện cụ thể cho từng trường hợp:

• Hai nghiệm trái dấu: Tích ac < 0.
• Hai nghiệm phân biệt cùng dấu: Tích ac > 0 và P > 0.
• Hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương: Tích ac > 0, P > 0 và S > 0.
• Hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm: Tích ac > 0, P > 0 và S < 0.
• Hai nghiệm trái dấu, với nghiệm dương có giá trị tuyệt đối bé hơn nghiệm âm: Tích ac < 0 và S < 0.

Dạng phân tích tam thức bậc 2 thành các nhân tử

Phương pháp giải: Hệ thức Vi-ét là một công cụ hữu ích để phân tích kỹ thuật phương trình bậc hai và giúp chúng ta tìm ra các nhân tử một cách nhanh chóng. Hãy xem xét một phương trình bậc hai tổng quát dưới dạng:

ax^2 + bx + c = 0

Trong đó, a khác không (a ≠ 0) và x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Hệ thức Vi-ét cho phép chúng ta biểu diễn phương trình này dưới dạng một sản phẩm của các nhân tử tương ứng với hai nghiệm x1 và x2 như sau:

ax^2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)

Việc này có thể giúp chúng ta dễ dàng xác định các giá trị của x1 và x2 từ hệ số a, b, và c của phương trình ban đầu. Điều quan trọng là phải nhớ rằng x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình ban đầu và thỏa mãn điều kiện:

1. x1 + x2 = -b/a
2. x1 * x2 = c/a

Như vậy, khi đã biết giá trị của a, b, và c, ta có thể sử dụng hệ thức Vi-ét để tìm ra x1 và x2 một cách hiệu quả.

Những lưu ý khi sử dụng Vi-ét trong thi toán lớp 10

Các dạng toán liên quan đến hệ thức Vi-ét đều được coi là cơ bản và dễ dàng ghi điểm trong các đề thi. Tuy nhiên, để tránh sai sót khi làm bài, các em cần tuân theo những hướng dẫn sau đây:

• Hiểu kỹ lý thuyết và ghi nhớ cẩn thận các công thức liên quan đến hệ thức Vi-ét. Đồng thời, phải nắm vững các ký hiệu thường xuất hiện khi giải bài tập.
• Vì hệ thức Vi-ét thường được áp dụng trong các dạng bài liên quan đến phương trình bậc hai, nên trước hết, hãy xác định rõ điều kiện để phương trình đó có nghiệm.
• Làm quen với các ví dụ và bài tập thực hành để nắm vững cách giải các dạng toán Vi-ét. Việc luyện tập thường xuyên là cách tốt nhất để nâng cao kỹ năng trong việc giải toán.
• Tránh nhầm lẫn giữa các dạng bài toán khác nhau. Ví dụ, trong trường hợp của dạng toán xét dấu, có thể ghi nhớ công thức có sẵn để giải bài tập nhanh chóng, nhưng cũng cần hiểu rõ tại sao công thức đó có hiệu quả và có khả năng chứng minh nó.
• Sau khi nắm vững lý thuyết và các phương pháp giải bài tập, hãy thực hành nhiều bài tập khác nhau. Việc luyện tập sẽ giúp các em quen thuộc với các dạng toán liên quan đến hệ thức Vi-ét, giảm thiểu sai sót và phát triển khả năng tiếp cận với những bài toán phức tạp hơn.

Trên đây là thông tin chi tiết về các dạng toán Vi-ét thi và lớp 10 mà các học sinh chuẩn bị thi chuyển cấp cần tham khảo. Hy vọng qua những gì vừa tìm hiểu trên sẽ giúp các học sinh có kiến thức hữu ích, để việc nắm vững các dạng toán Vi-ét và đảm bảo thành công trong kỳ thi vào lớp 10. Chúc các em thành công!