Giải phương trình lớp 8 học kỳ 2 là kỹ năng cơ bản mà học sinh lớp này cần có, vì dạng này rất phổ biến trong chương trình học và cũng thường xuyên bắt gặp trong đề thi. Nhưng các bạn học sinh đừng lo lắng, DapAnChuan.com sẽ giúp các bạn nắm vững dạng này hơn khi tham khảo các dạng giải phương trình lớp 8 học kì 2 dưới đây.
Các dạng giải phương trình lớp 8 học kì 2
Cùng tìm hiểu các dạng Toán giải phương trình sau đây để quá trình giải bài tập trở nên dễ dàng hơn nhé!
Dạng 1: Phương trình bậc nhất một ẩn
Phương trình bậc nhất một ẩn là một dạng phương trình có dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a khác 0.
Cách giải phương trình bậc nhất này được thực hiện bằng hai bước chính:
+ Bước 1: Chuyển hạng tử tự do (b) về vế phải của phương trình. Khi làm điều này, chúng ta đổi dấu của số hạng đó. Vì vậy, phương trình trở thành:
ax = -b
+ Bước 2: Chia cả hai vế của phương trình cho hệ số của ẩn (a) để tìm giá trị của ẩn. Phương trình sau khi chia được viết lại như sau:
x = -b/a
Đây là giá trị của ẩn x mà làm cho phương trình ban đầu trở thành một câu đúng (điều kiện là a khác 0). Giá trị này là nghiệm của phương trình.
Chú ý rằng khi chúng ta chuyển vế hạng tử tự do từ một bên sang bên kia, chúng ta đổi dấu của nó để duy trì tính đẳng thức của phương trình.
Dạng 2: Phương trình đưa về phương trình bậc nhất
Cách giải:
Bước 1: Quy đồng mẫu và khử mẫu hai vế
- Trong bước này, chúng ta sẽ làm cho mẫu (mẫu số) trở nên giống nhau ở cả hai vế của phương trình, sau đó tiến hành khử mẫu để loại bỏ các mẫu số khỏi phương trình.
Bước 2: Bỏ ngoặc bằng cách nhân đa thức hoặc sử dụng quy tắc dấu ngoặc
- Ở bước này, chúng ta sẽ xem xét cách biểu thức trong ngoặc hoặc các thành phần bên trong dấu ngoặc và thực hiện các phép toán như nhân đa thức hoặc sử dụng quy tắc dấu ngoặc để giải quyết ngoặc.
Bước 3: Chuyển vế
- Trong bước này, chúng ta sẽ di chuyển các thành phần chứa ẩn số từ vế một sang vế kia. Cụ thể, các thành phần chứa ẩn số sẽ được chuyển sang vế trái và các thành phần không chứa ẩn số (tự do) sẽ được chuyển sang vế phải. Lưu ý rằng khi chuyển vế, dấu của các thành phần chứa ẩn số sẽ thay đổi.
Bước 4: Thu gọn bằng cách cộng trừ các thành phần đồng dạng
- Trong bước này, chúng ta sẽ thực hiện các phép toán cộng và trừ các thành phần đồng dạng (cùng loại) ở cả hai vế của phương trình. Điều này giúp chúng ta rút gọn biểu thức và dễ dàng tiến hành bước cuối.
Bước 5: Chia hai vế cho hệ số của ẩn số
- Cuối cùng, chúng ta sẽ chia cả hai vế của phương trình cho hệ số của ẩn số để tìm ra giá trị của ẩn số. Điều này sẽ cho ta kết quả cuối cùng của phương trình.
Nhớ rằng, quy trình này giúp các em tìm ra giải phương trình bằng cách thực hiện các bước cụ thể một cách tuần tự.
>>> Xem thêm: 100 Đề Bài tập Toán lớp 1 nâng cao khó cho học sinh giỏi có lời giải
Dạng 3: Phương trình tích
Phương trình tích có dạng A(x) * B(x) * C(x) * D(x) = 0, với A(x), B(x), C(x), D(x) là các nhân tử, là một dạng phổ biến của phương trình đại số và thường xuất hiện trong chương trình toán học lớp 8. Để giải phương trình này, ta áp dụng nguyên tắc “sản phẩm của các thừa số bằng 0” và giải từng nhân tử riêng lẻ. Dưới đây là cách giải chi tiết:
Bước 1: Viết phương trình gốc: A(x) * B(x) * C(x) * D(x) = 0
Bước 2: Giải từng nhân tử riêng lẻ:
- Nhân tử A(x): Giải phương trình A(x) = 0 để tìm các giá trị của x: A(x) = 0
- Nhân tử B(x): Giải phương trình B(x) = 0 để tìm các giá trị của x: B(x) = 0
- Nhân tử C(x): Giải phương trình C(x) = 0 để tìm các giá trị của x: C(x) = 0
- Nhân tử D(x): Giải phương trình D(x) = 0 để tìm các giá trị của x: D(x) = 0
Bước 3: Kết hợp tất cả các giá trị của x tìm được ở từng bước để tìm nghiệm của phương trình ban đầu.
Ví dụ: Nếu A(x) = 0 có nghiệm x₁, B(x) = 0 có nghiệm x₂, C(x) = 0 có nghiệm x₃, và D(x) = 0 có nghiệm x₄, thì tất cả các giá trị x là nghiệm của phương trình gốc: x = {x₁, x₂, x₃, x₄}
Lưu ý rằng, trong trường hợp này, có thể có nhiều nghiệm hoặc không có nghiệm tùy thuộc vào các giá trị cụ thể của A(x), B(x), C(x), và D(x).
Dạng 4: Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Cách giải:
Bước 1: Phân tích mẫu thành nhân tử
Bắt đầu bằng cách xem xét phương trình và phân tích mẫu thành các nhân tử. Điều này đặc biệt hữu ích khi bạn cần giải phương trình bằng cách sử dụng phương pháp phân tích mẫu thành nhân tử. Điều này có nghĩa là bạn cố gắng tách phương trình thành các thành phần riêng biệt dựa trên tính chất của từng mẫu trong phương trình.
Bước 2: Tìm Điều Kiện Xác Định (ĐKXĐ) của phương trình
Điều này liên quan đến việc tìm tất cả các giá trị mà các mẫu không được bằng 0 hoặc tìm các giá trị làm cho mẫu bằng 0 sau đó loại trừ các giá trị này ra khỏi tập giá trị của biến. Qua đó giúp xác định phạm vi của biến trong phương trình.
Bước 3: Quy đồng mẫu rồi khử mẫu hai vế
Trong bước này, bạn cố gắng làm cho mẫu của phương trình trở nên giống nhau trên cả hai vế. Sau đó, bạn có thể loại bỏ mẫu khỏi phương trình bằng cách chia cả hai vế cho mẫu đó. Giúp đơn giản hóa phương trình.
Bước 4: Bỏ ngoặc
Nếu có ngoặc trong phương trình, bạn cần mở ngoặc bằng cách sử dụng phân phối hoặc quy tắc FOIL (First, Outer, Inner, Last) nếu cần. Đảm bảo rằng bạn xử lý đúng các thành phần trong phương trình.
Bước 5: Chuyển vế (đổi dấu)
Trong bước này, bạn di chuyển các thành phần của phương trình qua một bên, thay đổi dấu của một số thành phần nếu cần. Điều này giúp bạn tạo ra một phương trình tương đương dễ dàng để giải.
Bước 6: Thu gọn
Sau khi chuyển vế, bạn cố gắng thu gọn phương trình bằng cách kết hợp các thành phần tương tự. Điều này đảm bảo rằng bạn có thể giải phương trình dễ dàng hơn.
Bước 7: Đối chiếu Điều Kiện Xác Định để trả lời
Cuối cùng, bạn đối chiếu lại với ĐKXĐ (Điều Kiện Xác Định) đã xác định ở bước 2 để tìm ra tất cả các giá trị của biến mà thỏa mãn phương trình ban đầu.
>>> Tham khảo thêm: Toán tìm x lớp 4 có đáp án, 6 quy tắc, học kì 1 2 và nâng cao
Dạng 5: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Phương pháp giải chung
Dạng giải phương trình lớp 8 chung thường gồm ba bước chính để tìm giá trị của ẩn số. Dưới đây là cách chi tiết để giải quyết phương trình này:
Bước 1: Quy đồng và khử mẫu (nếu có mẫu thức)
Trong bước này, các em cần đảm bảo rằng phương trình không chứa mẫu thức (tên tử hoặc mẫu tử là biểu thức chứa biến số). Nếu có, các em phải làm phương trình trở nên tổng quát hơn bằng cách nhân một hoặc vài thừa số để loại bỏ mẫu thức.
Bước 2: Áp dụng quy tắc chuyển vế và đổi dấu
Các em cần đưa tất cả các biến số và số hạng chứa biến số về cùng một bên của phương trình và để số hạng không chứa biến số ở phía còn lại. Các em có thể sử dụng quy tắc chuyển vế và đổi dấu để thực hiện điều này. Cụ thể, để đưa một số hạng từ một bên sang bên kia của phương trình, các em đổi dấu của số hạng đó.
Bước 3: Nhân và phá các ngoặc, rút gọn hai vế, tìm giá trị của ẩn số
Ở bước này, các em tiến hành nhân và phá các ngoặc nếu có, sau đó rút gọn các số hạng ở cả hai bên của phương trình. Sau khi rút gọn, các em sẽ thu được một phương trình đơn giản hơn với biến số nằm ở một bên và các số hạng còn lại nằm ở phía còn lại. Tiếp theo, các em tìm giá trị của biến số bằng cách chia cả hai bên của phương trình cho hệ số của biến số.
Lưu ý: Nếu gặp trường hợp trong phương trình mà a và b thỏa mãn điều kiện a.b = 0, thì có nghĩa là một trong hai số a hoặc b phải bằng 0. Điều này có thể giúp trong việc tìm các giá trị của biến số.
>>> Xem thêm: 60 Bài tập tính giá trị biểu thức lớp 4 có đáp án chuẩn nhất
Bài tập giải phương trình lớp 8
Câu 1. Tìm x biết: (2x +2)(x – 1) – (x + 2).(2x + 1) = 0
Lời giải:
Chọn đáp án A
Ta có:
Câu 2. Tìm x biết : ( 3x + 1). ( 2x- 3) – 6x. (x + 2) = 16
A. x= 2
B.x = – 3
C. x = – 1
D. x = 1
Lời giải:
Chọn đáp án C
Ta có:
( 3x + 1). ( 2x- 3) – 6x. (x + 2) = 16
3x ( 2x -3)+ 1.(2x – 3 ) – 6x. x – 6x . 2 = 16
6×2 – 9x + 2x – 3 – 6×2 – 12x = 16
-19x = 16 + 3
– 19x = 19
x = – 1
Câu 3. Giải phương trình
Lời giải:
Chọn đáp án D
Câu 4. Tìm giá trị của x thỏa mãn:
A. x = 1
B. x = 5
C. x = 3
D. x = 7
Lời giải:
Chọn đáp án B
Ta có:
Câu 5:
Lời giải:
Chọn đáp án B.
Ta có
Câu 6: Giá trị của x thỏa mãn 2x (x + 3) + 2(x + 3) = 0 là ?
A. x = -3 hoặc x = 1
B. x = 3 hoặc x = -1 .
C. x = -3 hoặc x = -1 .
D. x = 1 hoặc x = 3
Lời giải:
Chọn đáp án C.
Ta có
Câu 7.
A. x= 0
B.x = 0 hoặc x= -1
C. x = 1 hoặc x = -1
D. x= 0 hoặc x = 1
Lời giải:
Chọn đáp án D
Câu 8:
Lời giải
Chọn đáp án A
Ta có
Câu 9: Giải phương trình (x + 3). (x+ 5) = (x+ 4). (2+ x)
Lời giải
Chọn đáp án B
Ta có:
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
Câu 10. Tìm giá trị của x thỏa mãn:
A. x= 2
B. x = 4
C. x = 1
D. x = 5
Lời giải
Chọn đáp án A
Ta có:
Câu 11: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km. Khi đi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4km/h so với lúc đi, nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B.
A. 12km /h
B. 15km/h
C. 20km/h
D.16km/h
Lời giải:
Đổi 30 phút = 
Gọi vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B là x (km/h, x > 0). Thời gian xe đi từ A đến B là 
Đi từ B về A, người đó đi với vận tốc x + 4 (km/h). Thời gian xe đi từ B về A là 
Do thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút nên ta có phương trình:
Giải phương trình:
Đối chiếu với điều kiện ta có vận tốc của xe đạp đi từ A đến B là 12km/h.
Chọn đáp án A
Câu 12: Một công nhân theo kế hoạch phải làm 85 sản phẩm trong một khoảng thời gian dự định. Nhưng do yêu cầu đột xuất, người công nhân đó phải làm 96 sản phẩm. Do người công nhân mỗi giờ đã làm tăng thêm 3 sản phẩm nên người đó đã hoàn thành công việc sớm hơn so với thời gian dự định là 20 phút. Tính xem theo dự định mỗi giờ người đó phải làm bao nhiêu sản phẩm, biết rằng mỗi giờ chỉ làm được không quá 20 sản phẩm.
A. 10
B. 12
C. 15
D. 18
Lời giải:
Gọi số sản phẩm công nhân dự định làm trong một giờ là x (0 < x ≤ 20).
Thời gian dự kiến người đó làm xong 85 sản phẩm là 
Thực tế mỗi giờ làm tăng thêm 3 sản phẩm nên số sản phẩm làm được mỗi giờ là x + 3.
Do đó 96 sản phẩm được làm trong 
Thời gian hoàn thành công việc thực tế sớm hơn so với dự định là 20 phút = 
Vậy theo dự định mỗi giờ người đó phải làm 15 sản phẩm.
Chọn đáp án C
Câu 13: Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13m và chiều dài lớn hơn chiều rộng là 7m. Tính chiều dài của mảnh đất đó.
A. 5m
B. 8m
C. 12m
D. 10m
Lời giải:
Gọi chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là x (m) (0 < x < 13)
Chiều dài mảnh đất hình chữ nhật lớn hơn chiều rộng 7m nên chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật là x + 7 (m)
Biết độ dài đường chéo là 13m nên theo định lý Pitago ta có phương trình:
Vậy chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là 5m và chiều dài mảnh đất đó là 12m.
Chọn đáp án C
Câu 14: Một ô tô tải đi từ A đến B với vận tốc 45km/h. Sau 1 giờ 30 phút thì một xe con cũng xuất phát đi từ A đến B với vận tốc 60km/h và đến B cùng lúc với xe tải. Tính quãng đường AB.
A. 270 km
B. 200km
C. 240 km
D. 300km
Lời giải:
Gọi độ dài quãng đường AB là x (đơn vị km, x > 0)
Thời gian ô tô tải đi từ A đến B là 
Thời gian xe con đi từ A đến B là 
Vì xe con xuất phát sau xe tải 1 giờ 30 phút = 
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy độ dài quãng đường AB là 270km.
Chọn đáp án A
Câu 15: Hai bến sông A và B cách nhau 40km. Cùng một lúc với ca nô xuôi từ bến A có một chiếc bè trôi từ bến A với vận tốc 3km/h. Sau khi đến bến B, ca nô quay trở về bến A ngay và gặp bè, khi đó bè đã trôi được 8km. Tính vận tốc riêng của ca nô.
A. 20km/h
B. 25km/h
C. 27 km /h
D. 30km/h
Lời giải:
Gọi vận tốc ca nô là x(km/h), x > 3. Vận tốc ca nô xuôi dòng là x + 3(km/h)
Thời gian ca nô xuôi dòng từ A đến B là 
Vận tốc ca nô ngược dòng là x – 3 (km/h)
Quãng đường ca nô ngược dòng từ B đến địa điểm gặp bè là : 40 – 8 = 32 km
Thời gian ca nô ngược dòng từ B đến địa điểm gặp bè là: 
Thời gian bè trôi là:
Ta có phương trình:
So sánh với điều kiện thì chỉ có nghiệm x = 27 thỏa mãn, suy ra vận tốc của ca nô là 27km/h.
Chọn đáp án C
Câu 16:
Giải phương trình:
a)
b)
Lời giải:
a) Điều kiện: x + 2 ≠ 0 và x – 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ ± 2
(Khi đó: x2 – 4 = (x + 2)(x – 2) ≠ 0)
=> x^2 – 3x + 2 + 3x + 6 = 9 => x^2 = 1 => x = +-1
Vậy tập nghiệm của phương trình là S =
b) Điều kiện: 2x 
Khi đó: 
=> x = -5 hoặc x = 5/3
Vì x ≥ 0 nên ta lấy x = 5/3 . Tập nghiệm : S = {5/3}
Câu 17:
Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 60km/h và đi từ B về A với vận tốc 45km/h. Thời gian cả đi và về hết 7 giờ. Tính quãng đường AB.
Lời giải:
Gọi x (km) là quãng đường AB (x > 0)
Thời gian đi từ A đến B là: x/60 (giờ)
Thời gian đi từ B về A là: x/45 (giờ)
Theo đề ra, ta có phương trình:
⇔ 3x + 4x = 7.180 ⇔ 7x = 7.180 ⇔ x = 180 (nhận)
Trả lời: Quãng đường AB dài 180km.
Câu 18:
Giải phương trình
a) 2x – 3 = 5
b) (x + 2)(3x – 15) = 0
c)
Lời giải:
a) 2x – 3 = 5
2x = 5 + 3
2x = 8
x = 4
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 4}
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {- 2; 5}
c) ĐKXĐ: x – 1; x 2
3(x – 2) – 2(x + 1) = 4x – 2
3x – 6 – 2x – 2 = 4x -2
– 3x = 6
x = -2 (thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-2}
Câu 19: Giá trị của m để phương trình ( x + 2 )( x – m ) = 4 có nghiệm x = 2 là?
A. m = 1.
B. m = ± 1.
C. m = 0.
D. m = 2.
Lời giải:
Phương trình ( x + 2 )( x – m ) = 4 có nghiệm x = 2, thay x = 2 vào phương trình đã cho
Khi đó ta có: ( 2 + 2 )( 2 – m ) = 4 ⇔ 4( 2 – m ) = 4
⇔ 2 – m = 1 ⇔ m = 1.
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
Chọn đáp án A.
Câu 20: Giá trị của m để phương trình x^3 – x^2 = x + m có nghiệm x = 0 là?
A. m = 1.
B. m = – 1.
C. m = 0.
D. m = ± 1.
Lời giải:
Thay x = 0 vào phương trình x3 – x2 = x + m.
Khi đó ta có: 03 – 02 = 0 + m ⇔ m = 0.
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.
Chọn đáp án C.
Câu 21: Giải phương trình: x^2 – 5x + 6 = 0
A. x = 3 hoặc x = 2
B. x= -2 hoặc x = -3
C. x = 2 hoặc x = -3
D. x = -2 hoặc x = 3
Lời giải:
Chọn đáp án A
Câu 22: Số nghiệm của phương trình x^2 + 6x + 10 = 0
A. 1
B. 2
C. 0
D. Vô nghiệm
Lời giải:
Chọn đáp án D
Câu 23: Giải phương trình:
Lời giải:
Chọn đáp án B
Câu 24: Giải phương trình : 3x^4 + 6x – 9 = 0
A. x = 1
B. x = 1 hoặc x = -3
C. x = 1 hoặc x = -2
D. x = -3 hoặc x = -2
Lời giải:
Chọn đáp án B
Câu 25: Giải phương trình: 3(x – 2) + x^2 – 4 = 0
A. x = 1 hoặc x = 2
B. x = 2 hoặc x = -5
C. x = 2 hoặc x = – 3
D. Đáp án khác
Lời giải:
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2 hoặc x = – 5
Chọn đáp án B
Câu 26: Tích các nghiệm của phương trình x^3 + 4x^2 + x – 6 = 0 là?
Lời giải
Ta có
x^3 + 4x^2 + x – 6 = 0
⇔ x^3 – x^2 + 5x^2 – 5x + 6x – 6 = 0
⇔ x(x – 1) + 5x(x – 1) + 6(x – 1) = 0
⇔ (x – 1)(x^2 + 5x + 6) = 0
⇔ (x – 1)(x^2 + 2x + 3x + 6) = 0
⇔ (x – 1)[x(x + 2) + 3(x + 2)] = 0
⇔ (x – 1)(x + 2)(x + 3)= 0
Vậy S = {1; -2; -3} nên tích các nghiệm là 1.(-2).(-3) = 6
Câu 27: Tích các nghiệm của phương trình x^3 – 3x^2 – x + 3 = 0 là?
Lời giải
Ta có x^3 – 3x^2 – x + 3 = 0
⇔ (x^3 – 3x^2) – (x – 3) = 0
⇔ x(x^2 – 3) – (x – 3)= 0
⇔ (x – 3)(x^2 – 1) = 0
⇔ (x – 3)(x – 1)(x + 1) = 0
Vậy S = {1; -1; 3} nên tích các nghiệm là 1.(-1).3 = -3
Câu 28: Nghiệm lớn nhất của phương trình (x^2 – 1)(2x – 1) = (x^2 – 1)(x + 3) là?
Lời giải
Ta có (x^2 – 1)(2x – 1) = (x^2 – 1)(x + 3)
⇔ (x^2 – 1)(2x – 1) – (x^2 – 1)(x + 3) = 0
⇔ (x^2 – 1)(2x – 1 – x – 3) = 0
⇔ (x^2 – 1)(x – 4) = 0
Vậy tập nghiệm của phương trình S = {-1; 1; 4}
Nghiệm lớn nhất của phương trình là x = 4
Câu 29: Số nghiệm của phương trình: (x^2 + 9)(x – 1) = (x^2 + 9)(x + 3) là?
Lời giải
Ta có (x^2 + 9)(x – 1) = (x^2 + 9)(x + 3)
⇔ (x^2 + 9)(x – 1) – (x^2 + 9)(x + 3) = 0
⇔ (x^2 + 9)(x – 1 – x – 3) = 0
⇔ (x^2 + 9)(-4) = 0
⇔ x^2 + 9 = 0 ⇔ x^2 = -9 (vô nghiệm)
Vậy tập nghiệm của phương trình S = Ø hay phương trình không có nghiệm
Câu 30: Nghiệm nhỏ nhất của phương trình (2x + 1)2 = (x – 1)2 là?
Lời giải
Ta có (2x + 1)2 = (x – 1)2
⇔ (2x + 1 + x – 1)(2x + 1 – x + 1) = 0
⇔ 3x(x + 2) = 0
Vậy tập nghiệm của phương trình S = {0; -2}
Nghiệm nhỏ nhất là x = -2
Câu 31: Phân tích đa thức P(x) = (x^2 – 1) + (x + 1)(x – 2) thành nhân tử.
Lời giải
P(x) = (x^2– 1) + (x + 1)(x – 2)
P(x) = (x – 1) (x+1) + (x + 1)(x – 2)
P(x) = (x + 1) (x – 1 + x – 2)
P(x) = (x +1) (2x – 3)
Câu 32: Hãy nhớ lại một tính chất của phép nhân các số, phát biểu tiếp các khẳng định sau:
Trong một tích nếu có một thừa số bằng 0 thì …; ngược lại, nếu tích bằng 0 thì ít nhất một trong các thừa số của tích …
Lời giải
Trong một tích nếu có 1 thừa số bằng 0 thì tích bằng 0; ngược lại, nếu tích bằng 0 thì ít nhất 1 trong các thừa số của tích bằng 0
Giờ thì việc giải bài toán dạng phương trình đã dễ dàng hơn nhờ các dạng giải phương trình lớp 8 học kì 2 có đáp án chuẩn nhất ở trên rồi đúng không nào?! Các bạn học sinh lớp 8 nhớ luyện tập thường xuyên để trau dồi kiến thức nhiều hơn và đạt kết quả tốt trong học tập nhé!