Cách chứng minh tam giác vuông lớp 7 bài tập có đáp án

Ở bài viết này, DapAnChuan.com sẽ giúp các học sinh lớp 7 tìm hiểu về tam giác vuông và cách chứng minh tam giác vuông lớp 7, kèm theo đó là các bài tập có lời giải về dạng này. Các học sinh xem kỹ những thông tin dưới để áp dụng làm bài nha.

Tam giác vuông là gì?

Để tìm hiểu thông tin về cách chứng minh tam giác vuông, thì đầu tiên, ta cần tìm hiểu khái niệm về tam giác vuông. Vậy tam giác vuông được định nghĩa như thế nào? Cùng tham khảo nội dung sau đây

Định nghĩa: Tam giác vuông là tam giác chỉ có một góc vuông (tức chỉ có một góc bằng 90 độ)

Tam giác vuông là một loại hình tam giác có một góc vuông, tức là một góc có kích thước chính xác 90 độ. Trong tam giác vuông, có ba cạnh và ba góc và chỉ có một góc có độ lớn là 90 độ, và hai góc còn lại có tổng độ lớn là 90 độ nữa.

Cạnh huyền là cạnh đối diện với góc vuông và là cạnh dài nhất trong tam giác vuông, hai cạnh còn lại gọi là cạnh góc vuông. Cạnh huyền nối hai đỉnh không phải là đỉnh góc vuông.

Trong tam giác ABC ở trên ta thấy:

+ Góc A là góc vuông (góc A = 90 độ)

+ Cạnh đối diện góc A được gọi là cạnh huyền (cạnh BC)
+ Hai cạnh AB và AC được gọi là hai cạnh góc vuông
+ Góc B và góc C là hai góc nhọn

Dấu hiệu nhận biết tam giác vuông

Dấu hiệu nhận biết tam giác vuông bao gồm các điều sau:

• Nếu trong tam giác có một góc bằng 90 độ, thì tam giác đó là tam giác vuông.
• Nếu tam giác có hai góc nhọn (góc có kích thước nhỏ hơn 90 độ) và chúng bổ sung thành 90 độ, thì tam giác đó là tam giác vuông.
• Nếu bình phương của một cạnh trong tam giác bằng tổng của bình phương của hai cạnh còn lại, thì tam giác đó là tam giác vuông.
• Nếu tam giác có đường trung tuyến từ một đỉnh đến điểm trên cạnh tương ứng mà chiều dài của đường trung tuyến bằng một nửa độ dài của cạnh đó, thì tam giác đó là tam giác vuông.
• Nếu tam giác nội tiếp đường tròn và một trong các cạnh của tam giác là đường kính của đường tròn đó, thì tam giác đó là tam giác vuông.

Cách chứng minh tam giác vuông lớp 7

Có tổng cộng 5 cách để chứng minh tam giác là tam giác vuông, được trình bày như sau:

• Chứng minh tam giác có một góc bằng 90 độ
• Chứng minh tam giác có tổng hai góc nhọn bằng 90 độ
• Chứng minh tam giác có bình phương độ dài một cạnh bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh kia. Áp dụng định lý Pytago
• Chứng minh tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy
• Chứng minh tam giác nội tiếp một nửa đường tròn (có 1 cạnh trùng đường kính)

Sau đây là thông tin chi tiết về các cách chứng minh tam giác vuông lớp 7, các em cùng tham khảo

Chứng minh tam giác có một góc bằng 90 độ

Để chứng minh tam giác vuông có một góc bằng 90 độ, ta có thể thực hiện các bước sau:

• Đưa góc cần chứng minh vào góc của một tứ giác: Chọn một tứ giác bất kỳ có góc mà ta muốn chứng minh bằng 90 độ và đặt tam giác vào trong góc đó.
• Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật, hình vuông hoặc góc tạo bởi 2 đường chéo của hình thoi, hình vuông:a. Hình chữ nhật: Chứng minh rằng tứ giác có bốn góc vuông và các cạnh đối diện đều có độ dài bằng nhau.b. Hình vuông: Chứng minh rằng tứ giác có bốn góc vuông và các cạnh đều có độ dài bằng nhau.c. Góc tạo bởi 2 đường chéo của hình thoi, hình vuông: Chứng minh rằng tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại một điểm và chia tứ giác thành hai tam giác cân có góc bằng nhau.

Khi đã chứng minh được tứ giác là hình chữ nhật, hình vuông hoặc góc tạo bởi 2 đường chéo của hình thoi, hình vuông, ta cũng đã chứng minh tam giác vuông với góc bằng 90 độ.

Tam giác có bình phương độ dài một cạnh bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh kia

Để chứng minh một tam giác là tam vuông, chúng ta cần kiểm tra điều kiện về độ dài các cạnh của tam giác. Để làm điều này, ta sẽ kiểm tra xem có thỏa mãn điều kiện bình phương độ dài của một cạnh bằng tổng bình phương độ dài của hai cạnh còn lại không.

Cho một tam giác có ba cạnh là a, b, c, ta muốn chứng minh rằng tam giác này là tam vuông bằng cách kiểm tra xem:

a²=b²+c² hoặc b²=a²+c² hay c²=a²+b².

Nếu một trong ba điều kiện trên được thoả mãn, ta có thể kết luận rằng tam giác là tam vuông.

Điều kiện đầu tiên, a²=b²+c², cho thấy rằng bình phương độ dài cạnh a bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh còn lại, b và c, trong trường hợp tam giác là tam vuông.

Điều kiện thứ hai và thứ ba, b²=a²+c² và c²=a²+b², cũng có thể chứng minh được tương tự.

Chứng minh tam giác có tổng hai góc nhọn bằng 90 độ

Để chứng minh một tam giác là tam giác vuông, các em cần chứng minh rằng tam giác đó có tổng hai góc nhọn bằng 90 độ (có hai góc nhọn phụ nhau). Dưới đây là cách biên tập lại nội dung theo yêu cầu của bạn:

Để chứng minh tam giác là tam vuông, cần chứng minh tồn tại một góc vuông trong tam giác.

• Chọn một tam giác bất kỳ.
• Xác định ba góc của tam giác đó.
• Kiểm tra xem trong tam giác có tồn tại một góc có độ lớn bằng 90 độ không.

Nếu tìm thấy một góc có độ lớn bằng 90 độ trong tam giác, thì tam giác đó được gọi là tam giác vuông và điều này chứng minh rằng tam giác có tổng hai góc nhọn bằng 90 độ (hai góc nhọn phụ nhau).

Chứng minh tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy

Để chứng minh một tam giác là tam giác vuông, ta cần chứng minh rằng tam giác đó có đường trung tuyến ứng với một cạnh và độ dài của đường trung tuyến đó bằng nửa độ dài của cạnh đó.

Cụ thể, để chứng minh điều này, ta sẽ xem xét một tam giác ABC, trong đó AB là cạnh của tam giác mà ta muốn kiểm tra xem có phải là cạnh huyền hay không. Gọi D là trung điểm của cạnh AB.

+ Bước 1: Chứng minh D là trung điểm của cạnh AB. Để chứng minh điều này, ta sử dụng tính chất của trung điểm, tức là độ dài AD bằng độ dài DB. Được chứng minh bằng cách sử dụng định lý trung tuyến: “Trong một tam giác, đường trung tuyến bằng một nửa cạnh tương ứng.”

+ Bước 2: Chứng minh tam giác ADB là tam giác vuông tại D. Ta chứng minh rằng góc ∠ADB là góc vuông. Điều này được chứng minh bằng tính chất của tam giác vuông khi có một đường trung tuyến tương ứng.

+ Bước 3: Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông tại A. Vì tam giác ADB là tam giác vuông tại D và AD là nửa độ dài của AB, nên ta có thể kết luận rằng tam giác ABC là tam giác vuông tại A, với AB là cạnh huyền.

Như vậy, đã chứng minh được rằng tam giác ABC là tam giác vuông với đường trung tuyến từ đỉnh vuông góc đến trung điểm của cạnh huyền có độ dài bằng nửa cạnh huyền.

Chứng minh tam giác nội tiếp một nửa đường tròn (có 1 cạnh trùng đường kính)

Để chứng minh một tam giác là tam vuông, chúng ta cần chứng minh rằng tam giác đó nội tiếp đường tròn và có một cạnh là đường kính của đường tròn đó.

Cụ thể, để chứng minh tam giác là tam vuông, ta thực hiện các bước sau:

• Xác định tam giác: Xem xét tam giác cần chứng minh là tam vuông và đánh dấu các đỉnh và cạnh của nó.
• Chứng minh nội tiếp đường tròn: Để chứng minh tam giác nội tiếp đường tròn, ta cần chắc chắn rằng có một đường tròn đi qua tất cả ba đỉnh của tam giác đó.
• Chứng minh một cạnh là đường kính: Để chứng minh rằng một cạnh của tam giác là đường kính của đường tròn nội tiếp, ta cần chứng minh rằng cạnh đó nối hai đỉnh trên đường tròn và đi qua tâm của đường tròn.

Khi đã chứng minh được các điều trên, ta sẽ có căn cứ để kết luận rằng tam giác đó là tam vuông, vì một tam giác được coi là tam vuông nếu một trong các góc của nó bằng 90 độ.

Bài tập chứng minh tam giác vuông lớp 7 có đáp án

Bài tập chứng minh tam giác vuông có đáp án

Bài 1:

Cho tam giác ABC có AC = 5 cm, BC = 3 cm, AB = 4 cm. Tam giác ABC là tam giác gì?

Lời giải:

Ta có : AC ^ 2 = BC ^ 2 + AB ^ 2 ( vì 5 ^ 2 = 3 ^ 2 + 4 ^ 2 )

Nên tam giác ABC vuông tại B ( định lý Pytago đảo ).

Bài 2:

Tính chiều cao của bức tường, biết rằng chiều dài của thang là 4m và chân thang cách tường là 1m.

Lời giải:

Vì mặt đất vuông góc với chân tường nên góc C = 90 độ

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC ( vuông tại C ) , ta có:

AC ^ 2 + BC ^ 2 = AB ^ 2

=> AC ^ 2 = AB ^ 2 – BC ^ 2 = 4 ^ 2 – 1 ^ 2 = 16 – 1 = 15

=> AC = căn bậc hai của 15 ( m ) ~ 3,87 ( m ).

Do vậy, chiều cao của bức tường là 3,87 m.

Bài 3:

Cho tam giác ABC có AB = 8 cm, AC = 6 cm, BC = 10 cm. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?

Lời giải:

Ta có 6^2 =36, 8^2 = 64, 10^2 = 100

Mà 100 = 36 + 64 hay 10^2 = 8^2 + 6^2

Nên theo định lí Py – ta – go đảo, tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

Bài 4:

Ba số nào dưới đây có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông?

A. 4cm; 5cm; 6cm

B. 6cm; 6cm; 9cm

C. 5cm; 13cm;15cm

D. 20cm; 21cm; 29cm

Lời giải:

Đáp án D

Bài 5:

Tam giác có độ dài ba cạnh bằng 4cm, 7cm, 8cm có là tam giác vuông không? Vì sao?

Lời giải:

Ta có 4^2 =16, 7^2 = 49, 8^2 = 64

Mà 16 + 49 = 65 ≠ 64

Nên theo định lí Py – ta – go đảo, tam giác có độ dài 3 cạnh 4m, 7m, 8m không là tam giác vuông.

Bài 6:

Cho tam giác ABC. Kẻ AH vuông góc BC (H nằm giữa B và C). Biết

BH = 9cm, HC = 16cm, HA = 12cm. Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.

Lời giải:

+) Áp dụng Py-ta-go cho hai tam giác vuông ABH và ACH được:

 AB = 15; AC = 20

+) BC = 25

BC^2 = AB^2 + AC^2  (25^2 = 15^2 + 20^2).

Theo định lý Py-ta-go đảo, tam giác ABC vuông tại A.

Bài 7:

Cho các độ dài 6cm, 7cm, 8cm, 10cm, 24cm, 26cm. Ba độ dài nào có thể là độ dài các cạnh của tam giác vuông?

Lời giải:

Ba độ dài các cạnh của tam giác vuông là (6; 8; 10), (10; 24; 26).

Bài tập tự luyện 

A. Phần TRẮC NGHIỆM

1. Một tam giác là vuông nếu độ dài 3 cạnh của nó là:

A. 2,3,4 B. 3,4,5 C. 4,5,6 D. 6,7,8

2. Một tam giác cân có góc ở đáy là 300 thì góc ở đỉnh có số đo là:

A. 1000 B. 1100 C. 800 D. 1200

3. Tam giác ABC có BC = 3cm ; AC = 5cm ; AB = 4cm. Tam giác ABC vuông tại đâu?

A. Tại B B. Tại C C. Tại A D. Không phải là tam giác vuông

4. Tam giác ABC có AB = AC = BC thì tam giác ABC là

A. Tam giác nhọn B. Tam giác cân C. Tam giác vuông D. Tam giác đều

5. Tam giác nào vuông nếu độ lớn ba góc kà:

A. 300, 700, 800 B. 200, 700, 900 C. 650, 450, 700 D. 600, 600, 600

6. Tam giác cân là tam giác có:

A. Hai cạnh bằng nhau -B. Ba cạnh bằng nhau – C. Một góc bằng 600 – D. Một góc bằng 900

7. Một t giác vuông có cạnh góc vuông bằng 5cm và cạnh huyền bằng 13cm, vậy cạnh còn lại bằng:

A. 5cm B. 8cm C. 12cm D. 18cm

8. Cho hình nhật có chiều dài 12cm , đường chéo là 13cm thì chiều rộng hình chữ nhật là:

a/ 14cm b/ 5cm c/ 12cm d/ 10cm

9. Tam giác nào là tam giác vuông trong các tam giác có độ dài ba cạnh như sau:

a/ 8cm,9cm,14cm ; b/ 7cm,7cm,10cm ; c/ 5dm,11cm,12cm ; d/ 9cm, 15cm,12cm

10. Tam giác ABC vuông tại B suy ra:

A. AB2 = BC2 + AC2 B. BC2 = AB2 + AC2

C. AC2 = AB2 + BC2 D. Cả a,b,c đều đúng

B. Phần tự luận:

Bài 1

Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm.

a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. Tính các góc B, C và đường cao AH của tam giác đó.

b) Hỏi rằng điểm M mà diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC nằm trên đường nào?

Bài 2. Cho tam giác ABC có AB < AC. Kẻ tia phân giác AD của góc BAC ( D thuộc BC). Trên canh AC lấy điểm E sao cho A E=A B, trên tia A B lấy điểm F sao cho A F=A C. Chứng minh rằng:

a, Tam giác BDF = tam giác EDC

b, BF = EC

c) FDE thẳng hàng.

d, AD vuông góc FC

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AH = 24cm, BH = 18cm.

Tính HC, AB,AC,BC?

Bài 4. Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH.Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H đến AB, AC.

Chứng minh hai tam giác AMN và ACB đồng dạng.

Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD, đường phân giác của góc B chia đường chéo AC thành hai đoạn 3,6cm và 6,4cm.. Tính các kích thước của hình chữ nhật.

Bài 6. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB = 5cm.

a) Tính BC;

b) Tính diện tích tam giác ABC;

c) Vẽ đường phân giác BD của tam giác ABC. Tính DA, DC.

10,  Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB = a.

a) Tính BC;

b) Tính diện tích tam giác ABC;

c) Vẽ đường phân giác BD của tam giác ABC. Tính DA, DC.

Bài 7. Cho tam giác ABC có D, E thuộc cạnh BC sao cho BD = DE = EC. Biết AD = AE. Biết AD=AE

a) Chứng minh góc EAB = góc DAC

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là phân giác của góc DAE

c) Giả sử góc DAE = 60 độ. Tính các góc còn lai của tam giác DAE.

Bài 8. Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC.

a) Chứng minh DABC = DABD

b) Trên tia đối của tia AB, lấy điểm M. Chứng minh DMBD = D MBC.

Bài 9. Cho góc nhọn xOy và tia phân giác Oz của góc đó. Trên Ox, lấy điểm A, trên Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Trên tia Oz, lấy điểm I bất kì. Chứng minh:

a) D AOI = D BOI.

b) AB vuông góc OI..

Bài 10. Cho tam giác ABC cân tại A, I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác đó, biết IA = 2 cm; IB = 3CM. Tính AB?

Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AH = 12 cm, tỉ số của hai cạnh HB và HC là 1/4.

a) Tính HB, HC; b) Tính AB, AC; c) Tính diện tích tam giác ABC.

Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là các điểm đối xứng của H qua AB, AC. Chứng minh: DE² = 4BD.CE.

Nội dung bài viết trên chia sẻ về những cách chứng minh tam giác vuông lớp 7 này thật bổ ích trong việc làm bài tập các dạng liên quan đúng không nào? Ngoài các em còn có thể tham khảo các dạng bài tập để luyện tập và trau dồi thêm kỹ năng làm bài tập dạng chứng minh tam giác vuông này.