Bài tập chứng minh 2 tam giác vuông bằng nhau giúp các học sinh rèn luyện tư duy logic liên quan đến tam giác vuông và các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông. Bởi vậy nên đây cũng là dạng bài tập rất quan trọng trong chương trình Toán. Hãy cùng DapAnChuan.com giải đáp các bài tập dưới đây nhé!
Hai tam giác vuông bằng nhau là gì?
Hai tam giác vuông bằng nhau (hoặc còn được gọi là “tam giác vuông đồng dạng”) là hai tam giác vuông mà các góc vuông tương ứng của chúng có độ lớn bằng nhau và các cạnh góc vuông cũng tương đương.
Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông
Sau đây là các trường hợp của hai tam giác vuông bằng nhau
Trường hợp 1: Cạnh góc vuông – cạnh góc vuông:
Nếu độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông này, bằng độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông kia, thì hai tam giác vuông này sẽ có diện tích bằng nhau.
Trường hợp 2: Cạnh góc vuông – góc nhọn kề
Nếu một cạnh tạo thành góc vuông và một góc nhọn liền kề với cạnh đó của một tam giác vuông, và chúng có cùng độ lớn với một cạnh tạo thành góc vuông và một góc nhọn kề cạnh đó của một tam giác vuông khác, thì hai tam giác vuông đó sẽ có diện tích bằng nhau.
Trường hợp 3: Cạnh huyền – góc nhọn
Nếu ta xem xét hai tam giác vuông có cạnh huyền và một góc nhọn giống nhau, chúng ta có thể rút ra kết luận rằng hai tam giác này cũng đồng dạng và bằng nhau.
Trường hợp 4: Cạnh huyền – cạnh góc vuông
Nếu một tam giác vuông có cạnh huyền và một cạnh tạo góc vuông bằng với cạnh huyền và một cạnh tạo góc vuông của một tam giác vuông khác, thì hai tam giác vuông đó là đồng dạng.
Đó là các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông mà chúng ta đã các trường hợp đồnh dạng của tam giác vuông. Sau đây ta sẽ đi vào vận dụng lý thuyết ở trên vào làm bài tập.
Bài tập chứng minh 2 tam giác vuông bằng nhau có đáp án
Bài tập trắc nghiệm
Bài 1:
Cho tam giác ABC và tam giác NPM có BC = PM, ∠B = ∠P = 90° . Cần điều kiện gì để tam giác ABC bằng tam giác NPM theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông?
A. BA = PM B. BA = PN C. CA = MN D. ∠A = ∠N
Đáp án:
Ta có hai tam giác ABC và tam giác NPM có BC = PM, ∠B = ∠P = 90° mà BC, PM là hai cạnh góc vuông của tam giác ABC và NPM nên để hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông thì ta cần thêm điều kiện CA = MN
Chọn đáp án C.
Bài 2:
Cho tam giác ABC và tam giác KHI có: ∠A = ∠K = 90°, AB = KH, BC = HI. Phát biểu nào sau đây đúng?
A. ΔABC = ΔKHI
B. ΔABC = ΔHKI
C. ΔABC = ΔKIH
D. ΔACB = ΔKHI
Đáp án:
Xét tam giác ABC và tam giác KHI có:
∠A = ∠K = 90°, AB = KH, BC = HI
⇒ ΔABC = ΔKHI (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Chọn đáp án A
Bài 3:
Cho tam giác ABC và tam giác MNP có ∠A = ∠M = 90°, ∠C = ∠P. Cần điều kiện gì để hai tam giác ABC và tam giác MNP bằng nhau theo trường hợp cạnh góc vuông – góc nhọn kề?
A. AC = MP B. AB = MN C. BC = NP D. AC = MN
Đáp án:
Ta có: ∠C = ∠P mà góc C và góc P là hai góc nhọn kề của tam giác ABC và tam giác MNP
Do đó để tam giác ABC và tam giác MNP bằng nhau theo trường hợp cạnh góc vuông – góc nhọn kề thì cần thêm điều kiện AC = MP
Chọn đáp án A.
Bài 4:
Cho tam giác ABC và tam giác DEF có: ∠B = ∠E = 90°, AC = DF, ∠A = ∠F. Phát biểu nào sau đây đúng?
A. ΔABC = ΔFED
B. ΔABC = ΔFDE
C. ΔBAC = ΔFED
D. ΔABC = ΔDEF
Đáp án:
Xét tam giác ABC vuông tại B (góc B = 90 độ) và tam giác FED vuông tại E (góc E = 90 độ) có:
-AC=DF
-Góc A = góc F
=> Tam giác ABC bằng tam giác FED (cạnh huyền – góc nhọn)
Chọn đáp án A
Bài 5:
Cho tam giác ABC đều. Từ A kẻ AF ⊥ BC tại F, từ B kẻ BG ⊥ AC tại G. Qua C kẻ đường thẳng song song với BG cắt AF tại H. Khi đó tam giác HBC là:
A. Tam giác đều
B. Tam giác vuông
C. Tam giác vuông cân
D. Tam giác cân
Đáp án:
+ Xét tam giác ABF và tam giác ACF đều vuông tại F có:
AB = AC (tam giác ABC đều)
AF: cạnh chung
Do đó: ΔABF = ΔACF (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Suy ra: BF = CF (hai cạnh tương ứng)
+ Xét hai tam giác BFH và CFH cùng vuông tại F có:
FH cạnh chung
BF = CF (cmt)
Do đó: ΔBFH = ΔCFH (hai cạnh góc vuông)
Suy ra: CH = BH (hai cạnh tương ứng)
⇒ ΔHBC cân tại H
– Ta có:
+ Góc BCG = góc GBC = 90 độ (tam giác BCG vuông tại G)
mà góc BCG = góc BCA = 60 độ (tam giác ABC đều)
nên góc GBC = 90 độ – góc BCG = 90 – 60 = 30 độ
– Lại có:
BG song song CH (giả thiết)
=> góc HCB = góc GBC = 30 độ (so le trong)
tam giác HBC cân tại H có góc ở đáy HCB bằng 30 độ
Nên ΔHBC không thể là tam giác vuông cân và tam giác đều.
Vậy A, B, C sai, D đúng
Chọn đáp án D
Bài 6:
Cho góc nhọn xOy với Ot là tia phân giác. Trên Ot lấy điểm I, từ I kẻ IA ⊥ Ox tại A, tia AI cắt Oy tại N, kẻ IB ⊥ Oy tại B, tia BI cắt Ox tại M. Khi đó ta có:
A. IA = IB
B. OA = OB
C. IM = IN
D. Cả A, B, C đều đúng
Đáp án:
– Xét tam giác AIO vuông tại A và tam giác BIO vuông tại B có:
+ OI: cạnh huyền chung
+ Góc O1 bằng góc O2 (Ot là tia phân giác của góc xOy)
=> Tam giác AIO = tam giác BIO (cạnh huyền – góc nhọn)
=> OA=OB; IA=IB (hai cạnh tương ứng)
– Xét tam giác IAM vuông tại A và tam giác IBN vuông tại B có:
+ IA = IB (chứng minh trên)
+ Góc AIM bằng góc BIN (hai góc đối đỉnh)
=> Tam giác IAM bằng tam giắc BIN (cạnh góc vuông – góc nhọn)
=> IM=IN (hai cạnh tương ứng)
Vậy cả A, B, C đều đúng
Chọn đáp án D
Bài 1:
Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC. Chứng minh rằng Tam giác AHB = tam giác AHC
Lời giải:
Xét tam giác AHB và tam giác AHC có:
+ Góc AHB = góc AHC = 90 độ
+ AB = AC (gt)
+ AH chung (gt)
Suy ra, tam giác AHB = tam giác AHC ( cạnh huyền – cạnh góc vuông )
Bài 2:
Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC (H
∈
∈ BC). Chứng minh rằng:
a) HB = HC
b) Góc BAH = góc CAH
Lời giải:
a) Xét hai tam giác vuông AHB và AHC có:
AB = AC (tam giác ABC cân tại A)
Góc B = góc C
=> Δ AHB = Δ AHC (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra HB = HC (đpcm).
b) Ta có
Δ AHB = Δ AHC (cmt)
Suy ra góc BAH = góc CAH (hai góc tương ứng).
Bài 3:
Cho tam giác ABC cân tại A (góc a = 90 độ). Vẽ BH ⊥ AC (H ∈ AC), CK ⊥ AB (K ∈ AB).
a) Chứng minh rằng AH = AK
b) Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc A.
Lời giải:
a) Xét hai tam giác vuông HAB và KAC có:
+ AB = AC (do tam giác ABC cân tại A)
+ Góc A (góc chung)
Vậy Δ HAB = Δ KAC (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra AH = AK (đpcm)
b) Xét hai tam giác vuông KAI và HAI có:
AH = AK (cmt)
Cạnh huyền AI chung.
Vậy Δ KAI = Δ HAI (cạnh huyền – cạnh góc vuông.)
Suy ra góc KAI = góc HAI
Nói cách khác AI là tia phân giác của góc A.
Bài 4:
Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AD vuông góc với BC. Chứng minh rằng AD là tia phân giác của góc A?
Lời giải:
Xét hai tam giác vuông ADB và ADC đều vuông tại D có
AD chung
AB = AC (tam giác ABC cân tại A)
Nên ΔADB = ΔADC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Suy ra ∠BAD = ∠CAD (góc tương ứng bằng nhau)
Mà tia AD nằm giữa tia AB và AC
Vậy AD là tia phân giác của góc BAC.
Bài tập tự luận
Bài 1:
Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC. Chứng minh rằng
a) HB = HC
b, Góc BAH = góc CAH
Đáp án:
a) Xét hai tam giác vuông ΔABH và ΔACH có:
AB = AC (gt)
AH cạnh chung
Nên ΔABH = ΔACH (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Suy ra HB = HC
b) Ta có ΔABH = ΔACH (cmt)
Suy ra góc BAH = góc CAH
Bài 2:
Các tam giác vuông ABC và DEF có góc A = góc D = 90o, AC = DF. Hãy bổ sung thêm một điều kiện bằng nhau để ΔABC = ΔDEF.
Đáp án:
+ Bổ sung AB =DE thì ΔABC = ΔDEF (cạnh – góc – cạnh)
+ Bổ sung góc C = góc F thì ΔABC = ΔDEF (góc – cạnh – góc)
+ Bổ sung BC = EF thì ΔABC = ΔDEF (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Bài 3:
Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ BH ⊥ AC, CK ⊥ AB. Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chứng minh AI là tia phân giác của góc A.
Đáp án:
Xét hai tam giác AHB vuông tại H và AKC vuông tại K có:
AB = AC (tam giác ABC cân tại A)
Nên ΔAHB = ΔAKC (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra AH = AK (cạnh tương ứng)
Xét tam giác AHI vuông tại H và AKI vuông tại K ta có:
AI là cạnh chung
AH = AK
Nên ΔAHI = ΔAKI (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
⇒ ∠A1 = ∠A2 (góc tương ứng bằng nhau)
Do đó AI là tia phân giác góc A
Bài 4:
Cho ΔABC cân ở A. Vẽ BH vuông góc với AC, CK vuông góc với AB.
a) CMR AH = HK
b) Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc A
Đáp án:
a) Xét ΔABH và ΔACK có:
AB = AC (gt)
+Góc A chung
+Góc AHB = góc AKC = 90 độ
Nên Δ ABH = Δ ACK (cạnh huyền – góc nhọn).
b) Hai tam giác vuông AIK và AIH có
AH = AK (gt)
AI chung
Góc AKI và góc AHI = 90 độ
=> tam giác AIK bằng tam giác AIH (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
=> Góc IAK = góc IAH
Vậy AI là tia phân giác của góc A.
Bài 5:
Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AD vuông góc với BC. Chứng minh rằng AD là tia phân giác của góc A?
Đáp án:
Xét hai tam giác vuông ADB và ADC đều vuông tại D có
AD chung
AB = AC (tam giác ABC cân tại A)
Nên ΔADB = ΔADC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Suy ra ∠BAD = ∠CAD (góc tương ứng bằng nhau)
Mà tia AD nằm giữa tia AB và AC
Vậy AD là tia phân giác của góc BAC.
Bài 6:
Cho ΔABC cân tại A. AH vuông góc với BC. Chứng minh:
- a) HB = HC
- b) Góc BAH = Góc CAH
Đáp án:
a) ΔABH và ΔACH có: AB = AC (giả thiết), AH là cạnh chung
=> ΔABH = ΔACH (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
=> HB = HC
b) ΔABH = ΔACH (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
=> góc BAH = góc CAH
Bài tập tự luyện chứng minh 2 tam giác vuông bằng nhau
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác BE (Điểm E thuộc cạnh AC), đường thẳng qua E vuông góc với BC tại D và cắt tia BA tại F:
a. Chứng minh hai tam giác EAB và EDB bằng nhau.
b. So sánh EA và EC và chứng minh EC = EF.
c. Gọi O là giao điểm của đường thẳng BE và CE. Chứng minh OA = OD.
Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh hai tam giác ABM và ACM bằng nhau.
b) Chứng minh AM vuông góc BC.
c) Chứng minh AM là phân giác của góc A.
Bài 3: Cho hình vẽ, biết góc EAD = góc HAD, BH vuông góc AE, EC vuông góc AH. Chứng minh rằng:
a. ∆ABD = ∆ACD.
b. ∆DBE = ∆DCH.
c. ∆ABH = ∆ACE.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc B cắt cạnh AC tại D. Trên cạnh BC lấy điểm H sao cho BH = BA.
a) Chứng minh ∆ABD = ∆HBD.
b) Chứng minh DH vuông góc với BC.
c) Giả sử góc ACB bằng 60 độ. Tính số đo góc ADB.
Bài 5: cho tam giác ABC vuông tại B, đường phân giác AD (D thuộc BC). Kẻ BO vuông góc với AD (O thuộc AD), BO cắt AC tại E. Chứng minh:
a. ∆ABO = ∆AEO.
b. ∆BAE cân.
c. AD là đường trung trực của BE.
d. Kẻ BK vuông góc với AC (K ∈ AC). Gọi M là giao điểm của BK và AD. Chứng minh rằng ME// BC.
Bài 6:
Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC (H ∈ BC). Chứng minh rằng:
a) HB = HC ;
b) góc BAH = góc CAH
Bài 7:
Cho tam giác ABC cân tại A (góc A < 90º). Vẽ BH ⊥ AC (H ∈ AC) CK ⊥ AB (K ∈ AB)
a) Chứng minh rằng AH = AK
b) Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc A.
Bài 8: Cho tam giác ABC; M là trung điểm BC; N là 1 điểm trong tam giác sao cho NB = NC.
Chứng minh: NMB = NMC.
Bài 9. Cho ABC có AB = AC. Kẻ AE là phân giác của góc BAC [E thuộc BC]. Chứng minh rằng: ABE = ACE
Bài 10. Cho tam giác ABC có góc A = 40 độ , AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC. Tính các góc của tam giác AMB và tam giác AMC.
Bài 11. Cho ABC có AB = AC. Kẻ AE là phân giác của góc BAC [E thuộc BC]. Chứng minh rằng:
a. ABE = ACE
b. AE là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Bài 12. Cho ABC có AB < AC. Kẻ tia phân giác AD của góc BAC [D thuộc BC]. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB, trên tia AB lấy điểm F sao cho AF = AC. Chứng minh rằng:
a. BDF = EDC.
b. BF = EC.
c. F, D, E thẳng hàng.
d. AD vuông góc FC
Bài 13. Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox, lấy 2 điểm A và C. Trên tia Oy lấy 2 điểm B và D sao cho OA = OB; OC = OD. [A nằm giữa O và C; B nằm giữa O và D].
a. Chứng minh OAD = OBC
b. So sánh 2 góc CAD và CBD.
Bài 14. Cho ΔABC vuông ở A. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC.
a. Chứng minh ΔABC = ΔABD
b. Trên tia đối của tia AB, lấy điểm M. Chứng minh ΔMBD = ΔMBC.
Bài 15. Cho góc nhọn xOy và tia phân giác Oz của góc đó. Trên Ox, lấy điểm A, trên Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Trên tia Oz, lấy điểm I bất kì. Chứng minh:
a. ΔAOI = ΔBOI.
b. AB vuông góc OI.
Bài 16. Cho tam giác ABC có AB = AC. D, E thuộc cạnh BC sao cho BD = DE = EC. Biết AD = AE.
a. Chứng minh góc EAB = góc DAC.
b. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là phân giác của góc DAE.
c. Giả sử góc DAE = 60 độ. Tính các góc còn lại của tam giác DAE.
Bài 17. Cho tam giác ABC có góc A = 90 độ. Vẽ AD AB [D, C nằm khác phía đối với AB] và AD = AB. Vẽ AE AC [E, B nằm khác phía đối với AC] và AE = AC. Biết DE = BC. Tính góc BAC.
Ở trên đây là các bài tập chứng minh 2 tam giác vuông bằng nhau dễ bắt gặp trong quá trình làm bài của học sinh. Các em nhớ xem kỹ cách trình bày để quá trình làm bài thuận tiện hơn nhé.