Phương pháp nhân 2 số phức, số phức nhân số phức liên hợp

Phương pháp nhân 2 số phức, số phức nhân số phức liên hợp là một trong những bài tập khiến khá nhiều các bạn học sinh quan tâm và lo lắng khi gặp những bài tập dạng như thế này. Vì thế với bài viết ngày hôm nay, Dapanchuan.com sẽ giuspo bạn giải đáp vấn đè này một cách chi tiết nhất để các bạn có thể cũng cố lại kiến thứ nền về số phức và số phức liên hợp.

Colorful Mathematical symbols seamless pattern background, vector illustration

Vậy số phức là gì?

Số phức là số có thể viết dưới dạng $a+b\imath$ , trong đó a và b là các số thực (số nguyên), a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo. Và $\imath$ được xem là đơn vị ảo, qui ước $\imath ^{2}=-1$ hay $\imath ={\sqrt {-1}}$ (Ví dụ : $-3,5+2\imath$ là một số phức)

Tập hợp số phức được kí hiệu là C. Nếu z là số thực thì phần ảo b = 0, ngược lại, nếu z là số thuần ảo thì phần thực của z là a = 0.

Mỗi số phức z đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng: $z=a+bi$ . Trong đó a, b là các số thực. Dạng biểu diễn này được gọi là dạng đại số của số phức z.

Biểu diễn hình học của số phức:

Cho số phức z = a + bi (a,b nguyên). Xét trong mặt phẳng phức Oxy, z sẽ được biểu diễn bởi điểm M(a;b) hoặc bởi vector u = (a;b).

Chú ý ở mặt phẳng phức, trục Ox còn được gọi là trục thực, trục Oy gọi là trục ảo.

Số phức liên hợp là gì?

Có thể thấy, số phức liên hợp là gì là câu hỏi được nhiều bạn học sinh khá quan tâm. Dưới đây là những kiến thức cụ thể về số phức liên hợp là gì.

Như đã biết, số phức là một biểu thức có dạng $a+b\imath$ , với $\imath ^{2}=-1$ . Đây là những số thực và được ký hiệu dưới $Z=a+bi\,$ , . Vậy số phức liên hợp là gì? ${\overline {Z}}=a-bi$ được gọi là số phức liên hợp của z.

Một số tính chất của số phức liên hợp:

$Z\times {\overline {Z}}=a^{2}+b^{2}$ là một số thực.

$Z+{\overline {Z}}=2a$ là một số thực

${\overline {Z+Z'}}$ = ${\overline {Z}}+{\overline {Z'}}$

${\overline {Z\times Z'}}$ = ${\overline {Z}}\times {\overline {Z'}}$

Phương pháp nhân 2 số phức

Số phức có dạn $a+b\imath$ , trong đó a và b là các số thực (số nguyên), a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo. Và $\imath$ được xem là đơn vị ảo

Công thức nhân hai số phức:

Trong trường số phức, tính chất của đơn vị ảo $\imath$ đặc trưng bởi biểu thức

$i^{2}=-1$

$i={\sqrt {-1}}$

Mỗi số phức z đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng: $z=a+bi$ (Trong đó a, b là các số thực. Dạng biểu diễn này được gọi là dạng đại số của số phức z)

Với cách biểu diễn dưới dạng đại số, phép cộng và nhân các số phức được thực hiện như phép cộng và nhân
các nhị bất đẳng thức với lưu ý rằng i² = –1. Như vậy, ta có:

$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$

$(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Số phức nhân số phức liên hợp

Một số tính chất của số phức liên hợp:

$Z\times {\overline {Z}}=a^{2}+b^{2}$ là một số thực.

$Z+{\overline {Z}}=2a$ là một số thực

${\overline {Z+Z'}}$ = ${\overline {Z}}+{\overline {Z'}}$

${\overline {Z\times Z'}}$ = ${\overline {Z}}\times {\overline {Z'}}$

Module và Argument của số phức:

Cho $z=a+bi\,$ . Khi đó $z\times {\overline {z}}=a^{2}+b^{2}\,$ . Căn bậc hai của $z\times {\overline {z}}\,$ được gọi là module của z, ký hiệu là $|z|$ . Như vậy $|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ .

Có thể biểu diễn số phức $z=a+bi$ trên mặt phẳng tọa độ bằng điểm $M(a,b)$ , góc $\varphi$ giữa chiều dương của trục Ox và vec tơ ${\overrightarrow {OM}}$ được gọi là $argumen$ của số phức $z$ , ký hiệu là $arg(z)$ .

Một vài tính chất của module và argument

$|{\bar {z}}|=|z|,|z_{1}*z_{2}|=|z_{1}|*|z_{2}|,|z^{n}|=|z|^{n},$

$\arg(z_{1}*z_{2})=\arg(z_{1})+\arg(z_{2}),$

$\arg {\frac {z_{1}}{z_{2}}}=\arg(z_{1})-\arg(z_{2}),\ \arg(z^{n})=n\,\arg(z)\,$

Dạng lượng giác của số phức:

Số phức $z=a+bi$ có thể viết dưới dạng:

$z=a+bi={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\left({\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\cdot i\right)$

Khi đặt : $r=|z|,\varphi =\arg(z)$ ,

Ta có: $z=r(cos\varphi +i\,sin\varphi )$

Cách biểu diễn này được gọi là dạng lượng giác của số phức $z$ .

Phép toán trên các số phức viết dưới dạng lượng giác

Phép nhân và phép chia các số phức dưới dạng lượng giác

Cho hai số phức dưới dạng lượng giác

$z=r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)$

$z'=r'\left(\cos \varphi '+i\sin \varphi '\right)$

Khi đó:

$z\cdot z'=rr'\left(\cos \left(\varphi +\varphi '\right)+i\sin \left(\varphi +\varphi '\right)\right)$

${\frac {z}{z'}}={\frac {r}{r'}}\left[\cos(\varphi -{\varphi }'\right)+i\sin \left(\varphi -{\varphi }'\right)$

Lũy thừa tự nhiên của số phức dưới dạng lượng giác (công thức Moirve).

$z^{n}=r^{n}{\Bigg (}\cos n\,\varphi +i\sin n\,\varphi {\Bigg )}$

Khai căn số phức dưới dạng lượng giác.

Mọi số phức z khác 0 đều có đúng n căn bậc n, là các số dạng

${\omega }_{k}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos {\psi }_{k}+i\sin {\psi }_{k}\right)$

trong đó ${\psi }_{k}={\frac {\varphi +k\,2\,\pi }{n}}$ , $k=0,1,...n-1$

Hi vọng với bài viết Phương pháp nhân 2 số phức, số phức nhân số phức liên hợp sẽ giúp bạn có thêm thật nhiều kiến thức để phục vụ trong học tập nhé.

Viết một bình luận Hủy